Matrices

Hallo.
We hebben het in onze wiskundeles over matrices. We moesten het volgende bewijzen, in het algemeen, dus NIET met een voorbeeld: De som en het product van twee bovendriehoeksmatrices zijn bovendriehoeksmatrices.
Kan iemand mij dit bewijs leveren, ik heb er mij al suf op gezocht?
dank op voorhand
Peter

Peter
3de graad ASO - woensdag 5 maart 2003

Antwoord

Beste Peter,

Ik zal je hier niet het volledige bewijs geven. Het geeft de meeste voldoening om zoiets helemaal zelf te bewijzen. Ik wil ook niet dat het een soort invuloefening wordt, want dan heb je het nog niet zelf geleerd. Maar helaas, dit is geen interactief medium en ik zal je dus hier al op weg moeten helpen voor het hele bewijs. Een bewijs maken leer je vooral door het vaak te proberen en mee te kijken met hoe anderen zoiets hebben gedaan.
Hieronder zal ik aangeven hoe ik een dergelijk bewijs zou aanpakken. Want als je een paar keer hebt gezien hoe je zoiets aan kunt pakken, dan lukt dat je ook zelf wel.

Als ik dit soort opgave zie, ga ik eerst eens goed bedenken wat ik nu precies moet bewijzen. Zoals in deze opgave wordt er over bovendriehoeks matrices gesproken. Dan ga ik goed na wat dat nu precies inhoudt.
Dan kom je erachter dat er gegeven is dat onder de diagonaal van de twee matrices die worden vermenigvuldigd nullen staan. Van de rest van de matrix weten we niets. De resultaat-matrix moet ook in ieder geval nullen onder de diagonaal hebben staan. We hebben nu op een rijtje gezet wat precies de gegevens zijn waar we gebruik van kunnen maken en wat we precies moeten bewijzen.

Dan probeer je een intuitief idee te krijgen waarom het te bewijzen waar is. Je hoeft het dan nog niet netjes op te kunnen schrijven, maar je moet in ieder geval een idee krijgen waarom het zo is als in de "stelling" wordt beschreven. Vaak helpt het dan om eens een voorbeeld te bekijken. In dit geval zou je eens twee matrices met elkaar kunnen vermenigvuldigen en dan goed bedenken waarom en wanneer er nullen in de "resultaat" matrix komen te staan.
Als je dit voorbeeld maakt, zou je bijvoorbeeld x'en kunnen zetten in de bovenste helft van de matrices en nullen op de goede plaatsen.

Ik hoop dat als je zo'n voorbeeld uitschrijft je al een idee van het waarom hebt.

Dan komt het stadium van het ook netjes wiskundig opschrijven van je idee. Dat is soms wel een beetje lastig. Dan heb je het niet meer zomaar over een voorbeeld, maar moet je het algemeen beschrijven.
Het "getal" in rij n en kolom m van de resultaat-matrix is het produkt van rij n van de eerste matrix en kolom m van de tweede matrix.
Ga eens na wat voor n en m geldt als je in de onderste helft van de matrix kijkt. Bedenk dan eens wat je van een willekeurige rij n in de eerste matriz weet; waar de nullen staan, hoeveel en welk deel van de vector een waarde heeft die willekeurig is. Doe het zelfde eens voor kolom m van de tweede matrix.

Dit klinkt misschien allemaal een beetje "vaag". Ik hoop dat als je je wat meer in deze opgave verdiept, de aanwijzingen wat meer duidelijk maken en je de juiste richting op wijzen. Probeer het echt om het bewijs zelf te maken. Het zal je heel veel voldoening geven.

Heel veel succes en je kunt altijd een nieuwe vraag stellen als je er nu nog niet helemaal uitkomt, maar geef niet te snel op!!!

donderdag 6 maart 2003

©2001-2024 WisFaq