Pascal en concurrentie

Beste meneer/mevrouw,

Gegeven is een driehoek $ABC$ en zijn omgeschreven cirkel. Ook een punt $T$ buiten de cirkel.

$TC$ snijdt de cirkel in $M$, $TA$ in $K$ en $TB$ in $L$.

Men dient een lijn te vinden welke de driehoek $ABC$ snijdt in de punten $P$, $Q$ en $R$ zodat $MR$, $LQ$ en $PK$ concurrent zijn in een punt van de omgeschreven cirkel. Tevens dient bewezen te worden dat deze daadwerkelijk concurrent zijn in dit punt.

Klik op 't plaatje voor een vergroting

In het bijgevoegde plaatje is het zaak dat de concurrentie van de 3 roze lijnen wordt bewezen. De rode lijn is de pascallijn. Desargues biedt misschien uitkomst, maar ik zie het zo niet. Kunt u me op weg helpen?

Gerard
Student universiteit - zondag 20 maart 2016

Antwoord

Hallo Gerard,

Ik neem aan dat je Pascallijn hoort bij de zeshoek $BCMKLA$, want je nummering duidt daarop en die zeshoek levert

• $BC \cap KL = Q$
  
• $CM \cap LA = S$
  
• $AB \cap MK = R$
  

als punten van je Pascallijn. Het punt $P$ is vervolgens snijpunt van $AC$ en de Pascallijn.
Door deze samenstelling geldt dat:

• $K$ ligt op de lijn $RM$ (definitie punt $R$ op Pascallijn)
  
• $K$ ligt op de lijn $QL$ (definitie punt $Q$ op Pascallijn)
  
• $K$ ligt op $KP$ (triviaal)
  

En dat betekent dat er verder geen Desargues meer nodig is, de concurrentie is duidelijk!

Groeten,

dinsdag 22 maart 2016

©2001-2024 WisFaq