Berekenen inhoud omwentelingslichaam

Gegeven de functie $f(x)=\sqrt{2x^{2}+2}$ op het interval [0,7].

• Bereken inhoud van het omwentelingslichaam van f rond de y-as

Om te beginnen heb ik dit gedaan: 2x²+2=y², 2x²=y²-2 en daarna f(0)=2 en f(7)=5, daarna de regel $\pi$[1/5y⁵+2/3y³+y] bovensom 5 en ondersom 2. Hierna raak ik de draad helemaal kwijt en ook de plaats van het zwaartepunt en de lengte van f op dit interval. Kunt U me helpen. Bij voorbaat dank

Bert
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 17 maart 2016

Antwoord

Dat $y^2=2x^2+2$ nemen is prima; het enige wat je had moeten doen is $\pi y^2$ van $0$ tot $7$ integreren:
$$
\int_0^7\pi(2x^2+2)\,\mathrm{d}x
$$Dat geeft je de inhoud. Waar die $\frac15x^5+\frac23y^3+y$ vandaan komt vat ik niet.

Ik lees nu iets beter dat er om de $y$-as gewenteld moet worden; dan moet $x$ als functie van $y$ geschreven worden, maar omdat $x^2$ uiteindelijk geintegreerd moet worden volstaat het om op te merken dat uit $y^2=2x^2+2$ meteen volgt dat $x^2=\frac12y^2-1$. Verder geldt $f(0)=\sqrt2$ en $f(7)=\sqrt{98+2}=10$: dat zijn dus de grenzen voor $y$. Er komt de volgende integraal:
$$
\int_{\sqrt2}^{10}\frac12y^2-1\,\mathrm{d}y
$$

kphart
donderdag 17 maart 2016

©2001-2024 WisFaq