Limiet met sinus zonder de L'Hopital

Ik moet volgende limiet berekenen:
lim (9x-sin(3x))/(5x+4sin(2x)) voor x - 0

Ik heb al eens geprobeerd om dit uit te rekenen met een toegevoegde tweeterm, verdubbelingsformules en zelfs verdriedubbelingsformules (sin(3x)=3sin(x)-4sin3(x)). Maar ik geraak er niet echt uit. Kan u mij op weg helpen maar wel zonder de L'Hopital want die regel mogen we niet gebruiken, want dit soort oefeningen zijn niet echt my cup of tea?

Roel D
Student universiteit België - woensdag 19 februari 2003

Antwoord

Je kunt het bijvoorbeeld als volgt proberen. Deel teller en noemer door sin(3x). Je krijgt dan een ingewikkeld uitziende breuk die ik hier niet zo eenvoudig kan weergeven, maar we nemen er een paar elementen uit.

Boven de streep krijg je bijvoorbeeld 9x/sin(3x). Door dit te schrijven als (3.3x)/sin(3x) of ook als 3.3x/sin(3x) krijg je ineens een standaardlimiet in beeld. Je weet, neem ik aan, dat 3x/sin(3x) tot 1 nadert als x $\to$ 0.

In de noemer krijg je onder andere het stukje sin(2x)/sin(3x) op je bord (het getal 4 is natuurlijk niet weg, maar geeft geen problemen).

Schrijf dit nu als sin(2x)/2x . 3x/sin(3x) . ²/₃ en weer komen er standaardlimieten in beeld.

Nu nog zelf even dit trucje loslaten op 5x/sin(3x) en alles combineren.

MBL
woensdag 19 februari 2003

©2001-2024 WisFaq