Limiet berekenen

Bij de afleiding van de Poisson verdeling kom ik dit tegen:

P(k) = lim (n) · (n(n-1)....(n-k+1))/n^k · v^k/k! · (1-(v/n))ⁿ · (1-(v/n))^-k

P(k) = 1 · (v^k/k!) · e^-v · 1

(zie ook: http://mathworld.wolfram.com/PoissonDistribution.html en dan bij de nummertjes 4 en 5).

ik neem aan dat (1-v/n)ⁿ gewoon die e^-v is, maar ik kom echt niet uit dat eerste gedeelte met die ((n(n-1)....(n-k etc. en niet uid het laatste gedeelte van (1-v/n)^-k

iemand die mij kan helpen?

Eduard
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 19 februari 2003

Antwoord

Wat het eerste stuk betreft: er staan in totaal k factoren naast elkaar en eronder staan precies k factoren n.
Stop nu per haakjesgedeelte één factor n erin.
Dat wordt dan: n/n . (n - 1)/n . (n - 2)/n ...(n - k + 1)/n en schrijf dat ver4volgens iets handiger.
Je krijgt: 1 . (1 - 1/n) . (1 - 2/n).....(1 - (k+1)/n) en als n naar oneindig gaat elk van deze haakjesvorm naderen tot 1. Je krijgt dus in totaal k factoren 1 en dat blijft natuurlijk 1.

Voor het laatste stukje geldt dat het quotiënt v/n tot nul nadert als n ®¥, zodat er komt te staan (1 - 0)^-k ofwel 1.

MBL
vrijdag 21 februari 2003

©2001-2024 WisFaq