Kans op twee dezelfde getallen in oneindige verzameling

Ik beschik over een verzameling met N random gegenereerde reële getallen(ik laat het open volgens welke distributie, bijvoorbeeld begrendsd uniform of onbegrensd gauszisch.) Voor eindige N is de kans dat een nieuw willekeurig getal exact gelijk is aan één van de vorige gelijk aan nul, dus het lijkt mij dat ook de kans dat twee getallen gelijk zijn, die proportioneel is met N², gelijk aan nul. Maar wat als N oneindig wordt? Aftelbaar of overaftelbaar. Kan de kans dat twee waarden exact gelijk worden onder bepaalde omstandigheden eindig worden, of zelfs naar 1 gaan?

Ik ben bekend met het concept van Poincarré-recurrence en weet dat het daar gaat om arbitrair dicht bij de begintoestand in plaats van exact gelijk. Maar voor P-recurrence moet dit gelden vanuit elke beginwaarde, terwijl het in dit geval genoeg is dat er ergens een paar is van twee identieke getallen.

Wouter
Student universiteit België - dinsdag 23 februari 2016

Antwoord

Dat los je op met behulp van de productmaat of $\mathbb{R}^N$. In het geval van aftelbaar oneindig veel factoren hebben we het over $\mathbb{R}^\mathbb{N}$, de verzameling rijtjes reële getallen. Je gebeurtenis is dan
$$
\bigcup_{m=1}^\infty\bigcup_{n=m+1}^\infty\{x: x_m=x_n\}
$$
dat is een vereniging van aftelbaar veel verzamelingen die allemaal (kans)maat nul hebben, je gebeurtenis heeft dus ook kans(maat) nul.
Voor overaftelbaar veel factoren ligt het anders: als $I$ overaftelbaar is dan is je gebeurtenis niet meetbaar en dus is de kans onbepaald.

kphart
dinsdag 23 februari 2016

©2001-2024 WisFaq