Grens bepalen

Beste,

Gegeven zijn de volgende functies: f(x)=1/4x² en g(x)=-4/x². De lijn x=a met a$>$0 snijdt de grafiek van f in C en de grafiek van g in B. De lijn x=-a snijdt de grafiek van f in D en de grafiek van g in A. De grafiek van f deelt de rechthoek ABCD in 2 stukken met gelijke oppervlaktes. Nu wordt de waarde van a gevraagd.

Zelf bedacht ik om de oppervlakte van het gehele vierkant te berekenen, dit door 2 te delen, daarna met primitveren de oppervlakte te bepalen van dit gelijk te stellen aan de door 2 gedeelde oppervlakte. Hierdoor kom ik op a=6, echter is dit niet het correcte antwoord. Dat is namelijk a=⁴√48.

Zou u mij kunnen helpen met het oplossen hiervan?
Alvast bedankt!

Atena
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 9 februari 2016

Antwoord

Hallo Atena,

Zie hieronder de schets:



Wanneer de rechthoek in 2 gelijke delen verdeeld wordt, dan wordt de rechter helft ook in twee gelijke delen verdeeld. Dat scheelt weer werk. De eis is dat het grijze oppervlak I even groot is als het groen+gele oppervlak II+III, beide zijn dus de helft van de oppervlakte van de rechter helft van de rechthoek (I+II+III).

Deze halve rechthoek (I+II+III) heeft zijden a (in x-richting) en ¹/₄a²+4/a^2/ (in y-richting). De oppervlakte is dan:
Opp I+II+III = ¹/₄a³+4/a

Oppervlakte I bereken je door eerst de oppervlakte van rechthoek I+II te berekenen, en daarvan oppervlakte II af te trekken. Ik vind:

Opp I+II = ¹/₄a³
Opp II = integraal voor x van 0 naar a van f(x)=¹/₄x²
Opp II = ¹/₁₂a³

Zodat:
Opp I = ¹/₄a³ - ¹/₁₂a³ = ²/₁₂a³

Twee keer opp.I moet gelijk zijn aan opp. I+II+III, dus:

⁴/₁₂a³ = ¹/₄a³+4/a

Wanneer je a oplost, kom je inderdaad uit op ⁴√48

Jij nu ook?

dinsdag 9 februari 2016

©2001-2024 WisFaq