xk, yk convergente rij?

Volgende oefening krijg ik niet opgelost:
Veronderstel dat (xk) en (yk) met k element van N convergente rijen zijn in Rⁿ. Mag je besluiten dat $<$xk,yk$>$ een convergente rij is in R. Argumenteer!
(als ik neen antwoord, moet ik een concreet voorbeeld geven en uitleggen waarom het niet convergeert, als ik ja antwoord, moet ik het waterdicht bewijzen...)
Ik weet niet zo goed of dit juist is:
Neem een rij (xk) = (1/k, -1/k) en (yk) = (1/k + 2, -1/k+2)
Rij (xk) convergeert bijgevolg naar (0,0) en rij (yk) convergeert naar (2, 2). Wanneer we het inproduct toepassen op deze twee rijen, namelijk $<$xk, yk$>$, vermenigvuldigen we de eerste componentrij van (xk) met de eerste componentrij van (yk) én de tweede componentrij van (xk) met de tweede componentrij van (yk). Vervolgens bekomen we de rij (1/k² +2, 1/k² + 2).
Deze nieuwe rij convergeert naar +oneindig! Dus mogen we niet besluiten dat de rij $<$xk,yk$>$ een convergente rij is in R.
Klopt dit? Of ontbreken er elementaire argumenten? Of is het volledig verkeerd? Bedankt!

Julie
Student universiteit - zondag 10 januari 2016

Antwoord

Het inwendig product, $\langle x_k,y_k\rangle$, van twee vectoren is een getal, niet een vector. In jouw voorbeeld geldt $\langle x_k,y_k\rangle=\frac1k(\frac1k+2)-\frac1k(-\frac1k+2)=\frac2{k^2}$ (je vermenigvuldigingen klopten ook niet, denk aan de haakjes, jouw foute rij convergeert overigens naar $(2,2)$). De getallenrij $(\frac2{k^2})_k$ convergeet naar $0$, en dat is ook het inwendig product van $(0,0)$ en $(2,2)$.
De stelling klopt; ik zou het eerste eens voor $n=2$ doen, dan is het schrijfwerk nog te overzien: stel $x_k=(x_{k,1},x_{k,2})$ en $y_k=(y_{k,1},y_{k,2})$ dan geldt $\langle x_k,y_k\rangle=x_{k,1}y_{k,1}+x_{k,2}y_{k,2}$; als $\lim_kx_k=(a,b)$ en $\lim_ky_k=(c,d)$ dan is de vraag of $\lim_k(x_{k,1}y_{k,1}+x_{k,2}y_{k,2})=ac+bd$.

kphart
zondag 10 januari 2016

©2001-2024 WisFaq