Integraal bepalen

Beste,

De opdracht is om de integraal van de volgende vergelijking te bepalen:

dy/dt=ky(1-y)(a-by)

Ik dacht eerst aan scheiden van variabelen, dus dan wordt het:

dy / (y(1-y)(a-by)) = k * dt

daarna gewoon de integraal:

ln y(1-y)(a-by) = k*t + C

y(1-y)(a-by) = Ce^kt
Maar het goede antwoord is: y(a-by) / (1-y)^2=Ce^akt

Kunt u uitleggen waarom?
Alvast bedankt!

Atena
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 29 december 2015

Antwoord

De afgeleide van $\ln\bigl(y(1-y)(a-by)\bigr)$ is niet $1/\bigl(y(1-y)(a-by)\bigr)$ (differentieer maar en denk aan de kettingregel).
Wat je moet doen is breuksplitsen.
Je kunt de breuk schrijven als
$$
\frac Ay+\frac B{1-y}+\frac C{a-by}
$$
als $a\neq b$, en als
$$
\frac Ay+\frac B{1-y}+\frac C{(1-y)^2}
$$
als $a=b$.
Die $A$, $B$ en $C$ kun je bepalen door de breuken weer bij elkaar op te tellen.
Zie de link hieronder voor wat voorbeelden.

Zie Breuksplitsen

kphart
dinsdag 29 december 2015

©2001-2024 WisFaq