Formule centripetale versnelling berekenen

Ik heb een vraag die, net als mijn vorige vraag, voor een deel met natuurkunde te maken heeft. Ik hoop toch dat mijn vraag op WisFaq! beantwoord kan worden, omdat er veel wiskunde in voorkomt.

Mijn vraag gaat over hoe je de formule van de centripetale versnelling kan vinden: a_c=v²/r, in woorden: 'De centripetale versnelling is gelijk aan de snelheid van het eenparig cirkelvormig bewegende object in het kwadraat gedeeld door de massa van dat object.'

Ik heb op veel sites en youtube-filmpjes gezocht naar een duidelijk bewijs, maar dit heb ik niet gevonden.
De centripetale versnelling staat loodrecht op de snelheidsvector en is naar het midden van de cirkel gericht. De centripetale versnelling zorgt alleen voor een verandering van richting van snelheid, niet van de grootte, anders is het namelijk niet meer eenparig.

Mijn vraag is dus of jullie, met een plaatje en wiskunde, mij het bewijs van de formule uit kunnen leggen.

Ik vind het een beetje verwarrend dat er in sommige bewijzen/uitleggen wordt gesproken over een 'verandering in snelheid'. Er is sprake van een verandering in snelheid - alleen in richting, niet in grootte. Hoe kun je dan v_f-v₀ berekenen? Dat is toch altijd nul (ten minste, de grootte)? Misschien kunnen jullie mij dit ook uitleggen?

En ten slotte vond ik nog deze website, die volgens mij een deel van de bewijzen tegenspreekt: 'http://milesmathis.com/avr.html'.

Ik hoop dat deze vraag op WisFaq! beantwoord kan worden, alvast bedankt!

135455
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - maandag 28 december 2015

Antwoord

Een snelheid is een vectorgrootheid: deze heeft niet alleen een grootte, maar ook een richting. Een snelheid kan dus op twee verschillende manieren veranderen: de grootte kan veranderen, of de richting (of beide tegelijk, natuurlijk). Niet alleen bij verandering van grootte treedt een versnelling op, ook bij verandering van richting.

Denk maar aan een auto die met 3 m/s achteruit rijdt, stopt en weer optrekt tot een snelheid van 3 m/s vooruit. De grootte van de snelheid is dan weer hetzelfde, maar de richting is omgekeerd. De snelheidsverandering is 6 m/s (en niet 0!). Wanneer dit hele proces 3 seconden zou duren, dan is de (gemiddelde) versnelling 6/3=2 m/s².

Controle: bij een versnelling van 2 m/s² geldt:
op t=0 is de snelheid 3 m/s achteruit;
op t=1 is de snelheid 1 m/s achteruit;
op t=2 is de snelheid 1 m/s vooruit;
op t=3 is de snelheid 3 m/s vooruit.

Conclusie: zowel bij een verandering van grootte als bij verandering van richting van snelheid is sprake van een versnelling.

Bij een eenparige cirkelbeweging is de versnelling steeds gericht naar het middelpunt van de cirkel. De grootte van de snelheid verandert niet, de richting verandert voortdurend.

Dan de afleiding van de formule voor de centripetale versnelling bij een cirkelbeweging. In onderstaande figuur zie je een punt dat een cirkelbeweging uitvoert.



Op twee posities is de snelheidsvector getekend, aangegeven met v₁ en v₂. In het driehoekje rechts zijn deze snelheidsvectoren nog eens getekend. Het groene pijltje ∆v geeft de verandering van de snelheid weer. De tijd die nodig is om van positie 1 naar positie 2 te komen, noemen we ∆t.

Het driehoekje in de cirkel en het driehoekje rechts zijn gelijkvormig. De lengtes van v₁ en v₂ zijn gelijk aan de baansnelhied v. Zodoende zien we:

∆v/v = s/r

Het afstandje s is (ongeveer) gelijk aan de afgelegde afstand v·∆t. De formule wordt dan:

∆v/v = v·∆t/r

Anders geschreven:

∆v/∆t = v²/r

∆v/∆t is de gemiddelde versnelling in het tijdsinterval ∆t. Wanneer we dit tijdsinterval laten naderen tot oneindig klein (∆t wordt dt), dan wordt het lijnstukje s echt gelijk aan v·dt en vinden we:

Centripetale versnelling dv/dt = v²/r.

Tot slot nog een opmerking over het artikel dat je op internet vond. Ik vind het niet de moeite om dit in zijn geheel te bestuderen. Met enige regelmaat meldt zich een fantast die beweert dat hij belangrijke informatie heeft (er bestaat een auto die 500 km op één druppel benzine rijdt, buitenaardse wezens die al jarenlang op een geheime locatie gevangen worden gehouden, een geneesmiddel tegen een dodelijke ziekte is allang uitgevonden), maar als gevolg van een wereldwijd complot wordt deze informatie genegeerd en kan nergens worden gepubliceerd.

Nu dus iemand die beweert een rekenfout te hebben ontdekt in het werk van Newton.

Volgens mij hoort dit artikel tot deze categorie onzin. Al snel is te zien dat details in de notatie niet kloppen (zo wordt gesproken over een limiet van t naar 0, maar dit zou moeten zijn: limiet ∆t naar 0), maar echt kwalijk wordt het wanneer deze schrijver het heeft over 'curved velocity' (gebogen snelheid) van A naar B. een snelheid wordt gekenmerkt door een grootte en een richting, een gebogen snelheid is onzin. De schrijver verwijt dat twee 'verschillende' snelheden 'zomaar' aan elkaar gelijk worden gesteld. In werkelijkheid verwart hij (als ik het goed lees) zelf het begrip 'snelheid' met de lengte van een lijnstuk in een meetkundige figuur.

De rest van zijn betoog laat ik maar voor wat het is, ik vind het niet zo verwonderlijk dat hij dit niet gepubliceerd krijgt. We leren er vooral van dat iedereen alles op internet kan plaatsen, zin en onzin, wat aangeeft dat je altijd kritisch moet blijven!

maandag 28 december 2015

Re: Formule centripetale versnelling berekenen

©2001-2024 WisFaq