Gemeenschappelijke priemfactor

ok, ik snap nu wat de gemeenschappelijke priemfactor is. Maar waarom als is het zo dat als x en z geen priemfactoren gemeenschappelijk hebben dat dan moet gelden dat (z-x)/2 en (z+x)/2 kwadraten zijn. (meer informatie over deze vraag is te vinden in een eerdere vraag van mij)

Imp
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 18 februari 2003

Antwoord

Je had al dat y² = z² - x² en dat geeft dan meteen ook dat y² = (z - x)(z + x) en dat is weer te schrijven als y² = 2².(z - x)/2 . (z + x)/2
Het is duidelijk, neem ik aan, dat een getal met een even exponent altijd een kwadraat is.
Welnu: in de vorige gelijkheid staat links een kwadraat, namelijk y². Dan staat er rechts dus ook een kwadraat, vanwege het gelijkheidsteken.
De factor 2 staat al in het kwadraat. De factoren (z - x)/2 en (z + x)/2 hebben geen gemeenschappelijke priemfactor (dat moest je als feit aannemen, schrijf je). Dan moet elk van die factoren dus ook een kwadraat zijn, ofwel een even exponent hebben. En daarmee ben je rond, volgens mij.

Laten we nog even doorgaan op het 'geen gemeenschappelijke priemfactor hebben'. De getallen 3 en 12 hebben als ontbinding resp. 3 en 2.2.3 en hebben dus 3 gemeenschappelijk.
Nu is 3.12 = 36 een kwadraat, terwijl noch 3 noch 12 zelf ook kwadraat is. Hoe kan dat? Wel, het getal 3 draagt één factor 3 aan in het product en het getal 12 draagt de tweede factor 3 aan in het product. En zo kun je dus aan even aantal komen, domweg omdat het tweetal getallen ieder hun steentje bijdragen.
Bij getallen die niets gemeen hebben gaat die vlieger niet op. Als je 15 = 3.5 en 14 = 2.7 met elkaar vermenigvuldigt, dan krijg je 15.14 = 3.5.2.7 en en nu worden er geen priemfactoren op één hoop geveegd.
Hopelijk kun je nu verder.

MBL
dinsdag 18 februari 2003

©2001-2024 WisFaq