Oneindige producten en convergentie

Hallo wisfaq,

Zij (x_n)n$\ge$ 1, een rij van reële getallen.

Als PROD [1+c*x_n], n=1 tot oneindig, convergeert voor twee verschillende waarden c in R\{0}, dan convergeert het product voor ieder waarde c in R. (R de reële getallen)

BEWIJS
Zonder verlies der algemeenheid kunnen we aannemen dat

PROD[1+x_n], n=1 tot onein, en PROD[1+(c_0)*x_n], n=1 tot onein convergent zijn met c_0 in R\{0,1}

Dan geldt dat

(PROD[1+x_n])^(c_0) = PROD[(1+x_n)^(c_0)]
beiden producten,, n=n_0 tot onein.

met |x_n|, |c_0*x_n|$<$1 voor n$\ge$n_1.

Dus PROD[((1+x_n)^(c_0))/(1+(c_0)*x_n)], n=n_0 tot onein, convergeert.

Vraag1. Hoe is dit quotient tot stand gekomen en waarom convergeert dit product?

Maar

((1+x_n)^(c_0))/(1+(c_0)*x_n)=

1+((x_n)^2)*((c_0)((c_0)-1)/2)*(1+eps_n)

als eps_n naar 0 gaat en n naar oneindig gaat.

Vraag 2
Ik begrijp hoe bovenstaande uitdrukking bepaald is maar ik begrijp niet goed de gedachte erachter en de epsilon.

Dit impliceert de convergentie van SOM[(x_n)^2], n=1 tot oneind.

Nu volgt het gewenste resultaat uit het volgende resultaat

(*) Als twee van de vier uitdrukkingen convergeren

SOM[1+(x_n)], SOM[1-(x_n)],SOM[(x_n)^2], SOM[(x_n], SOM[(x_n)^2],

dan geldt dit voor de resterende twee uidrukkingen.
QED

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
Iets anders - zondag 22 november 2015

Antwoord

1. Dat quotiënt is, denk ik, door proberen tot stand gekomen, met het ook op de rest van het bewijs. Dat het convergeert volgt uit een algemene stelling over convergente producten: als $\prod_{n\ge n_0}a_n=A$ en $\prod_{n\ge n_0}b_n=B$ dan convergeert $\prod_{n\ge n_0}\frac{a_n}{b_n}$ ook, met product $\frac AB$. NB vaak wordt bij de definitie van convergentie van producten uitgesloten dat het hele product gelijk is aan $0$, dus dan hoef je niet expliciet te eisen dat $B\neq0$.
2. Als je begrijpt hoe de uitdrukking bepaald is zou je de gedachte erachter toch ook moeten zien lijkt me. Ook hier kijkt men vooruit naar het einde van het bewijs: het gaat er om aan te tonen dat $\sum_nx_n^2$ convergeert; daarom werkt men naar een uitdrukking toe met $x_n^2$ er in. Het idee is het tweede-orde Taylorpolynoom van $(1+x)^c$ te nemen, met restterm (voor het schrijfgemak werk ik met $c$ en $x$):
$$
(1+x)^c=1+cx+\binom{c}{2}x^2+R(x)x^3
$$
waarbij $R(x)$ voor $x$ nabij $0$ begrensd is (je kunt de exacte formule opzoeken). Als je dat deelt door $1+cx$ komt er
$$
\frac{(1+x)^c}{1+cx} = 1+x^2\binom{c}{2}\left(1+\binom{c}{2}^{-1}\frac{R(x)x}{1+cx}-\frac{cx}{1+cx}\right)
$$
Als nu voor $x$ weer $x_n$ invult dan kun je $\varepsilon_n=\binom{c}{2}^{-1}\frac{R(x_n)x_n}{1+cx_n}-\frac{cx_n}{1+cx_n}$ als afkorting gebruiken en dan geldt $\lim_n\varepsilon_n=0$, omdat $\lim_nx_n=0$.
Nu volgt dat $\prod_{n\ge n_0}(1+x_n^2\binom{c}{2}(1+\varepsilon_n))$ convergeert en dus ook $\binom{c}{2}\sum_nx_n^2(1+\varepsilon_n)$, en daarmee ook $\sum_nx_n^2$.
In je laatste opmerking zie ik vijf uitdrukkingen, waarvan twee dezelfde, en zoals hij daar staat is de opmerking fout: als $\sum_nx_n$ convergeert dan convergeert $\sum_n(1+x_n)$ zeker niet.
De stelling die je bedoelt is waarschijnlijk: als $\sum_nx_n^2$ convergeert dan convergeren $\sum_nx_n$ en $\prod_n(1+x_n)$ allebei wel of allebei niet.

kphart
dinsdag 24 november 2015

Re: Oneindige producten en convergentie

©2001-2024 WisFaq