Het opstellen van formule voor een parabool

Hallo,

Ik vroeg me af hoe je de formule opstelt van een parabool die geen horizontale of verticale richtingslijn heeft. Dus niet x=8 of y=-2 maar bijvoorbeeld 2x-y=5. Zou u me dat kunnen uitleggen?

Alvast bedankt!

Tygo
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 31 oktober 2015

Antwoord

Dus je lijn $\ell$ is gegeven door $2x-y=5$, laten we ook nog een brandpunt nemen, bijvoorbeeld het punt $F=(-1,2)$.
Nu moet je alle punten hebben met gelijke afstand tot $\ell$ en $F$. De afstand van $(a,b)$ tot $F$ is natuurlijk $\sqrt{(a+1)^2+(b-2)^2}$, de afstand van $(a,b)$ tot $\ell$ is gelijk aan $|2a-b-5|/\sqrt5$.
Dat laatste staat misschien al in je wiskundeboek uitgelegd, maar in het kort: neem het punt $(p,q)$ op $\ell$ dat het dichtst bij $(a,b)$ ligt, dan is $(p,q)-(a,b)$ een veelvoud van $(2,-1)$, zeg $(p,q)-(a,b)=\lambda(2,-1)$, de afstand van $(a,b)$ tot $\ell$ is dus $|\lambda|\sqrt5$.
Verder geldt $(2p-q)-(2a-b)=2(p-a)-(q-b)=5\lambda$, en ook $(2p-q)-(2a-b)=5-(2a-b)$. Nu volgt dat de afstand gelijk is aan $|\lambda|\sqrt5=|2a-b-5|/\sqrt5$.
Nu kun je
$$
\sqrt{(a+1)^2+(b-2)^2}=\frac{|2a-b-5|}{\sqrt5}
$$
omwerken tot een vergelijking voor $a$ en $b$: kwadrateren en alles naar een kant brengen.

kphart
zondag 1 november 2015

©2001-2024 WisFaq