Bewijzen door volledige inductie

Hoi,

Ik moet tegen morgen de volgende 2 stellingen bewijzen door volledige inductie. Ik weet echter niet hoe dit te doen :(. Willen jullie me helpen?

1) 1+2+...+n= n(n+1)/2
2) 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Kaatje
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 8 oktober 2015

Antwoord

Beste Kaatje,

Volledige inductie werkt door eerst aan te tonen dat de gelijkheid juist is voor een bepaalde waarde van n (meestal neem je hiervoor de eenvoudigste waarde, zijnde de 'startwaarde' $n = 1$).
Daarna neem je aan dat de gelijkheid juist is voor $n$, en dien je te bewijzen dat deze voor $n+1$ ook juist is. Aangezien je niet van te voren hebt gespecificeerd voor welke $n$ dit klopt, heb je aangetoond dat dit voor ieder natuurlijk getal $n$ klopt (domino-principe).

Ik zal de tweede opgave voor je uitwerken, dan kun je zelf de eerste opgave op analoge wijze oplossen.

Toon aan dat de gelijkheid juist is voor een bepaalde waarde van $n$. Neem $n = 1$ dan staat er $1^{2} = \frac{1 \cdot (1+1)\cdot(2 \cdot 1 + 1)}{6}$. Dit is een ware bewering, want na uitwerking staat er $1 = 1$.

Neem aan dat de bewering klopt voor $n$, dus $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Dit noem je de inductiehypothese.

Aantonen dat voor $n+1$ de bewering ook klopt (substitueer in bovenstaande de $n$ voor $n+1$), met gebruikmaking van de inductiehypothese. Dus aantonen dat $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} + (n+1)^{2}= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$. Om het iets eenvoudiger te maken, kun je de laatste twee factoren in de teller uitwerken, dus $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} + (n+1)^{2}= \frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}$.

We mogen gebruiken dat $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, dus in de vergelijking $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} + (n+1)^{2}$ mag je de eerste $n$ termen vervangen door $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Er staat dan $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2}$ waarvan we moeten aantonen dat dit gelijk is aan $\frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}$.
Maak de breuken gelijknamig, zet de factor $(n+1)$ buiten de haakjes, en werk de haakjes weg. Dus $\frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^{2}}{6} = \frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6} = \frac{(n+1)(2n^{2}+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

Waarmee we dus hebben aangetoond dat de formule ook klopt voor $n+1$.

Mocht je nog vragen hebben, mag je altijd op dit antwoord reageren of een nieuwe vraag stellen.

Groetjes,
Davy

donderdag 8 oktober 2015

©2001-2024 WisFaq