Driehoek in twee delen gesplitst

Een driehoek is in twee delen gesplitst door een lijn die parallel loopt met de basis van de driehoek. Het driehoekige stuk A heeft een omtrek van 70 cm en een oppervlakte van 210 cm². Het stuk B is een trapezium met een omtrek van 196 cm en een oppervlakte van 1680 cm². Wat zijn de lengten van de zes lijnstukken in de figuur?

Hoe los ik dit op? Ik heb al van alles geprobeerd maar loop telkens vast. Wie kan me helpen?

S
Student hbo - zondag 27 september 2015

Antwoord

Hallo S,

Eens kijken. De oppervlakte van stuk B is achtmaal zo groot als van stuk A. Dus A+B samen negenmaal zo groot. Dat betekent dat de afmetingen van de grote driehoek $\sqrt{9}=3$ maal zo groot zijn als die van A. We krijgen een dergelijke figuur:



De omtrek van deel A geeft a+b+c=70, de omtrek van deel B geeft 4a+2b+2c=196. Hieruit valt af te leiden dat a=28 en b+c=42.

Methode 1:
De kleine driehoek A heeft nu een basis van 28 en een oppervlakte van 210. De bijbehorende hoogte is derhalve 15.

De bijbehorende hoogtelijn verdeelt driehoek A in twee rechthoekige driehoeken en verdeelt de basis in twee stukken van x en 28-x. Zo krijgen we:

$x^2 + 15^2 = b^2\,\,\,\,\,[1]$
$(28-x)^2 + 15^2 = c^2 = (42-b)^2\,\,\,\,\,[2]$

Die onderste ([2]) is te herschrijven tot
$784 - 56x + x^2 + 15^2 = 1764 - 84b + b^2$

Trekken we daar [1] van af, dan houden we over:

$784 - 56x = 1764 - 84b$
$-56x = - 84b + 980$
$x = 1\frac{1}{2}b - 17\frac{1}{2}$

Substitueer nu deze uitdrukking voor x in [1]. De rest kun je zelf afmaken.

Methode 2:

We gebruiken nu de formule van Hero(o)n in de kleine driehoek A, dus met s=35 (halve omtrek) en a=28. Dit geeft het volgende.

$Opp=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$210=\sqrt{35(35-28)(35-b)(35-c)}$
$210^2=245(35-b)(35-c)$
$180=(35-b)(35-c)$
$bc-35(b+c)+1045=0$
$bc-35\cdot 42+1045=0$
$bc = 425$

We weten dus nu dat b+c=42 en bc=425.

Nu zijn x=b en x=c de oplossingen van (x-b)(x-c)=0, dus van

$x^2-(b+c)x+bc=0$
oftewel

$x^2-42x+425=0.$

Nu kun jij het afmaken. Er komen mooie oplossingen uit.

Groeten,

Zie Wat is de formule van Heroon?

zondag 27 september 2015

©2001-2024 WisFaq