Een ongelijkheid bewijzen mbv inductie

Hallo wisfaq,

Ik wil graag met inductie bewijzen dat (2n)! /((n!)²) =$<$ 2^(2n-1) voor n=1,2,3,...

1. De stelling klopt voor n=1.

2. Neem aan dat de stelling geldt voor n=p. We kunnen dan aannemen dat

(2p)! /((p!)²) =$<$ 2^(2p-1) voor n=1,2,3,...

We moeten nu bewijzen dat de stelling geldt voor n=p+1,

(2(p+1))!/((p+1)!)² =$<$ 2^(2(p+1)-1)=2^(2p-1). Is dit correct? Volgens mij ben ik er nog niet maar ik weet niet hoe ik verder moet.

Groeten,

Viky

viky
Iets anders - donderdag 17 september 2015

Antwoord

Je linkerkant klopt:
$$
\frac{(2(p+1))!}{((p+1)!)^2}
$$
je rechterkant niet
$$
2^{2(p+1)-1} = 2^{2p+1}
$$
Je kunt de linkerkant schrijven als
$$
\frac{(2p+2)(2p+1)(2p)!}{(p+1)(p+1)(p!)^2}
$$
Daarmee kun je laten zien dat
$$
\frac{(2(p+1))!}{((p+1)!)^2}\le4\cdot\frac{(2p)!}{(p!)^2}
$$

kphart
donderdag 17 september 2015

Re: Een ongelijkheid bewijzen mbv inductie

©2001-2024 WisFaq