Re: Re: Re: Re: Integraal wat vreemd

Dit is een reactie op vraag 76047

Dagb Tom,

Hoe kan je het vlugst achterhalen dat een zeker integraal niet op te lossen is?. Er zijn nog ontelbarr vele functies die geen primitieve in zich dragen. Maar hoe achterhaal je dat?? .Want het is zonde van het tijdverlies dat men aan zulke oefeningen zou kunnen besteden eer je kan achterhalen dat er geen oplossing bestaat??
Nog zo een zou kunnen zijn
Integraal sqrt(1-ln²x)dx=??
Niet op te lossen, denk ik !
Conclusie: Er zijn nnog een oneindig aantal functies die geen primitieve hebben en een beperkt aantal wel.
Goede avond,
Rik
Rik

Rik Le
Iets anders - dinsdag 21 juli 2015

Antwoord

Dag Rik,

Er is geen eenvoudige manier om dat snel na te gaan.

Wanneer men zegt dat een functie zoals $e^{x^2}$ geen primitieve heeft, dan bedoelt men eigenlijk: we kunnen met behulp van elementaire functies (in een eindig aantal stappen, met de gekende bewerkingen) geen functievoorschrift $g(x)$ vinden zodat $g'(x) = e^{x^2}$.

Dat is niet helemaal hetzelfde als 'geen primitieve hebben'. De hoofdstelling van de integraalrekening garandeert namelijk het bestaan van een primitieve functie voor elke continue functie, dus ook voor $e^{x^2}$. Dat we die niet op een eenvoudige manier kunnen noteren, is nog wat anders...

Aantonen dat een functie geen 'gewone primitieve' heeft, vraagt meer gevorderde wiskunde. Van een aantal functies met een relatief eenvoudig voorschrift is geweten dat ze zo geen primitieve hebben. Voorbeelden van dergelijke zijn:

$e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$, $x^x$, $\frac{1}{\ln x}$, ...

Wanneer een krachtig wiskundepakket (software) geen primitieve vindt, is dat doorgaans een indicatie dat er geen eenvoudige primitieve te vinden is. Dit is uiteraard geen sluitend bewijs; de mens integreert soms beter dan de computer .

mvg,
Tom

dinsdag 21 juli 2015

©2001-2024 WisFaq