Kans dat meisjes naast elkaar zitten

27a. Vier jongens en drie meisjes gaan naar de bioscoop. Ze komen op een rij van 7 stoelen te zitten. Iedereen neemt willekeurig op een stoel plaats. Wat is de kans dat de meisjes allemaal naast elkaar komen te zitten?

Ik dacht ^2*3!*4!/_7!. Er zijn 7! manieren om ze willekeurig plaats te laten nemen. Als de meisjes (totaal M) per sé samen willen zitten naast de jongens (totaal N) zijn de mogelijkheden MN en NM mogelijk. Alleen de jongens en de meisjes kunnen onderling ook nog wisselen van plaats, dus kan dit op 2*3!*4! manieren. Wat is hier fout aan? Mijn antwoordenboek geeft ^5!*3!/_7!..

22b. Je gooit vier keer achter elkaar met een dobbelsteen. Bereken de kans dat de som van de ogentallen 8 is.
Je kunt hier lukraak gaan uittellen, maar is hier een simpelere manier voor die ik niet zie?

29. Tien stoelen staan in een rij. Vijf echtparen nemen willekeurig plaats. Bereken de kans dat iedereen naast zijn/haar eigen echtgenoot/echtgenote zit.
Er zijn 5! mogelijkheden om de 5 echtgenoten plaats te laten nemen, en 5! mogelijkheden om de 5 echtgenotes plaats te nemen, dus ik dacht dat de kans ^5!*5!/_10! is, maar het goede antwoord is ^{5!*2^5}/_10!..

Sorry dat ik zoveel vragen heb, maar het is echt frustrerend... Als u deze heeft beantwoord, zou ik graag nog 2 vragen willen stellen als dat mag.

Claudi
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 7 juli 2015

Antwoord

Hallo Claudia,

Je mag zoveel vragen stellen als je wilt, zolang je maar laat zien dat je eerst zelf over de vragen nadenkt en aangeeft waarop je vastloopt. Dat heb je prima gedaan, dan helpen we je graag verder.

De bioscoop:
In de opgave staat niet dat ook de jongens naast elkaar moeten zitten. Alleen het groepje meisjes moet bij elkaar blijven. Dit zijn dus goede mogelijkheden:

MMMJJJJ
JMMMJJJ
JJMMMJJ
JJJMMMJ
JJJJMMM

In plaats van 2 mogelijke plaatsen voor het groepje meisjes zijn er dus 5. Verder is jouw denkwijze goed: met het onderling wisselen van plaats wordt het aantal mogelijke plaatsingen 5*3!*4!. (Het antwoordenboek heeft 5*4! samengevoegd tot 5!).
Dit aantal moeten we nog delen door het totaal aantal mogelijkheden om de gevraagde kans te berekenen: 5!*3!/7!

De dobbelsteen:
Gelukkig hoeven we niet alle mogelijkheden afzonderlijk uit te tellen. Wel moeten we bekijken welke cijfercombinaties een som van 8 opleveren, dit is wel even 'gewoon handwerk'. De combinaties zijn:

1. 1 1 1 5
   
2. 1 1 2 4
   
3. 1 1 3 3
   
4. 1 2 2 3
   
5. 2 2 2 2

De cijfers van elke cijfercombinatie kunnen wel in meerdere volgordes staan. We tellen het aantal mogelijke volgordes:

1. 4 volgordes
   
2. 12 volgordes
   
3. 6 volgordes
   
4. 12 volgordes
   
5. 1 volgorde

In totaal zijn er 35 mogelijke volgordes van worpen waarbij de som 8 is. Deel dit aantal door het totaal aantal mogelijke volgordes van worpen (6*6*6*6=6⁴) om de gevraagde kans te berekenen.

De echtparen:
Wanneer iedereen naast zijn/haar echtgenoot moet zitten, dan kan dit alleen wanneer we de 10 stoelen zien als 5 paartjes stoelen: op het eerste paar stoelen moet een echtpaar zitten, op het tweede paar stoelen komt het volgende echtpaar enz.
Wanneer we de echtgenoten over de 5 paren stoelen verdelen, dan kan dit op 5! manieren. Maar elke echtgenote moet dan wel naast haar eigen man gaan zitten, niet naast een willekeurige man! Voor de echtgenotes is dan maar één mogelijkheid, niet 5! mogelijkheden.
Tot slot mogen de man en vrouw van elk echtpaar nog van plaats ruilen. Elk echtpaar heeft dus 2 mogelijkheden, we moeten het aantal mogelijkheden tot nu toe dus nog eens vermenigvuldigen met 2⁵. Zo komen we op het totaal aantal mogelijkheden waarop we echtparen naast elkaar kunnen plaatsen: 5!*1*2⁵
Deel dit aantal weer door het totaal aantal mogelijkheden om 10 mensen willekeurig op 10 stoelen te plaatsen (10!) om de gevraagde kans te berekenen.

Is het duidelijk waar jouw denkfouten zaten?

dinsdag 7 juli 2015

©2001-2024 WisFaq