Regelmatig viervlak

Hoi

In mijn cursus wordt de volgende vraag gesteld:
Elke symmetrie van het regelmatige viervlak komt overeen met een permutatie van de hoekpunten en omgekeerd: elke permutatie van de hoekpunten bepaalt een symmetrie van het viervlak.

1) Leg uit
2) Is dit ook het geval met de symmetrieën van de piramide?

Ik heb reeds het gehele internet afgezocht en vind geen enkel duidelijk antwoord.

Tim
3de graad ASO - vrijdag 15 mei 2015

Antwoord

Stap 1: een symmetrie bewaart de afstanden en beelt dus hoekpunten op hoekpunten af; dat geeft dan een permutatie van die hoekpunten.
Stap 2: elke verwisseling van twee hoekpunten bepaalt een spiegeling. Als de hoekpunten $A$, $B$, $C$ en $D$ heten komt verwisselen van $A$ en $B$ neer op spiegeling in het vlak door $C$, $D$ en met midden van $AB$. Elke permutatie is een product van verwisselingen, en dus ...

Wat de (vierzijdige?) piramide betreft: ook hier bepaalt elke symmetrie een permutatie; echter, niet andersom: bij een symmetrie blijven de verbingslijnen bewaard maar de top heeft er vier en de andere punten elk drie. Elke symmetrie houdt dus de top op zijn plaats.

kphart
zaterdag 16 mei 2015

Re: Regelmatig viervlak

©2001-2024 WisFaq