Oefeningen op vergelijkingen van rechten en vlakken

Beste,
Ik heb hieronder 2 oefeningen van een examen die ik niet opgelost krijg. Kan iemand mij hiermee helpen a.u.b.?
Alvast geel erg bedankt!

Vraag 1: K is een kubus met ribbe 8. Teken de doorsnede van K met het vlak alfa als alfa $\leftrightarrow$ 7x + 2y + 8z - 64 = 0.
Bereken daartoe de coördinaten van de snijpunten van de ribben van de kubus met het vlak alfa t.o.v. Het orthonormaal assenstelsel.

Vraag 2: ten opzichte van een affien assenstelsel beschouwt men het viervlak ABCD met A(0;0;0) , B(6;0;0) , c(0;6;0) en D(0;0;6).
We brengen een vlak alfa aan, evenwijdig met de ribben A-C en BD.
P(0;0;2) is de doorsnede van alfa met de ribbe AD.
A) bereken een vergelijking van het vlak alfa, dat door P gaat en evenwijdig is met de ribben AC en BD.
B) bepaal de coördinaten van de snijpunten van het vlak alfa met de ribben AB, BC en CD.

Met vriendelijke groet

Costie
3de graad ASO - donderdag 7 mei 2015

Antwoord

1) Ik neem aan dat de kubus OABC DEFG heet met O = (0,0,0) en A = (8,0,0) en C = (0,8,0) en D = (0,0,8).
Als je nu bijv. wilt weten waar het vlak de ribbe BF snijdt, dan weet je alvast dat dit snijpunt van de vorm (8,8,z) is én dat dit snijpunt in het vlak ligt. Invullen in de vergelijking van het vlak geeft dan
7x8 + 2x8 + 8z = 64 waarmee je z weet. Dat snijpunt is dan te tekenen. Zo werk je in principe elke ribbe af waarna je de gevonden punten met elkaar verbindt.

2) Ik weet niet welke methode(n) je kent om de vergelijking van een vlak op te stellen (vectorvoorstelling omzetten, inprodukt, uitprodukt, normaalvector), dus kies ik er een, namelijk via de normaalvector. In dit specifieke geval kan je de normaalvector zelfs uit een tekening halen, maar dat lukt niet meer bij ingewikkelder ligging van de figuren.
Het vlak moet evenwijdig zijn met de vectoren AC = (0,6,0) en BD = d - b = (0,0,6) - (6,0,0) = (-6,0,6). De lengte en de richting speelt hierbij geen rol en daarom kun je de twee gevonden vectoren vervangen door (0,1,0) en (1,0,-1).
Een vector die loodrecht op deze twee vectoren staat, is bijv. (1,0,1) wat je kunt controleren door de inprodukten te berekenen.
Het gezochte vlak heeft dus normaalvector (1,0,1) en heeft dan een vergelijking van de vorm x + z = k waarna je k vindt door (0,0,2) in te vullen.
Het vlak heeft dan de vergelijking: x + z = 2
Het tweede deel van de vraag is nu een herhaling van het eerste probleem.

MBL
vrijdag 8 mei 2015

©2001-2024 WisFaq