Bewijs van een open verzameling

Beste wisfaq,

Ik moet het volgende bewijzen, maar ik kom er niet uit:

Zij (X,d) een metriek en Y°ÌX een niet lege deelverzameling van X.
Laat verder A Í Y zijn.
Bewijs dat A open is in Y d.e.s.d.a. er een open deelverzameling O van X bestaat zodat A = O.

Het probleem is dat ik niet helemaal weet hoe ik naar een oplossing moet toewerken. Ik weet dat de vereniging van 2 open deelverzamelingen weer open is, maar er is niet gegeven dat Y open is en gezien de geringe info kunnen we dit ook niet afleiden. Ook kunnen we de definitie gebruiken en zeggen dat er voor elke x in A een r$>$0 is zdd B(x,r) in A zit, maar hiermee kom ik er ook niet echt.Het grootste probleem is dat ik niet zie hoe ik moet toewerken naar die vereniging van O en Y zeg maar, kunnen jullie me een beetje op weg helpen?

Alvast bedankt!
Donald

Donald
Student universiteit - zaterdag 2 mei 2015

Antwoord

De som is niet helemaal goed doorgekomen. Te bewijzen $A$ is open in $Y$ d.e.s.d.a. er een open verzameling in $X$ is met $A=Y\cap O$.(Je had $A=O$.)
En het gaat om een doorsnede, niet om een vereniging.
Het idee is dat je verschil moet maken tussen bollen in $X$ en bollen in $Y$.
Noteer met $B_X(x,r)$ de bol in $X$ om $x$ met straal $r$ en, als $x\in Y$, met $B_Y(x,r)$ de overeenkomstige bol in $Y$.
Merk eerst op:
$$
B_Y(x,r)=\{y\in Y:d(x,y)$<$r\} = Y\cap B_X(x,r)
$$
Als $A$ open is in $Y$ neem dan voor elke $a\in A$ een $r_a$ met $B_Y(a,r_a)\subseteq A$; bewijs dan dat $A=Y\cap\bigcup_{a\in A}B_X(x,r_a)$.
Omgekeerd: stel $A=Y\cap O$ met $O$ open in $X$ en zij $a\in A$, er is een $r$ met $B_X(a,r)\subseteq O$. Maar dan volgt $B_Y(a,r)\subseteq A$.

kphart
zondag 3 mei 2015

©2001-2024 WisFaq