Projectie in een vlak

Hallo allemaal,

Ik heb een vraag over het projecteren van meerdere punten in een vlak.

Punten zijn gegeven als volgt:
B = ʎ·(3 , 4 , 1)
D = µ·(-3, 2 , 1)
E = ŋ·(1 ,-3 , 9)

Het vlak V is gegeven als:
(0 0 0) + ʎ·(1 , 0 ,-1) + µ·(2 ,-1 , 0)

De vragen zijn:
a) bepaal de vergelijking van (..x + ..y + ..z = ..) van vlak V
b)Bepaal naar welke punten de punten B, D en E worden geprojecteerd.

Het vlak wordt dus gespannen door 2 vectoren uit de oorsprong, namelijk ʎ·(1 , 0 ,-1) en µ·(2 ,-1 , 0)
De loodrechtvector is het uitproduct tussen deze 2 en die is (-ʎµ , -2ʎµ , -ʎµ)
Deze lengte van deze vector is:
√((-ʎµ)²+(-2ʎµ)²+(-ʎµ)² ) = √(ʎ²·µ² + 2²·ʎ²·µ² + ʎ²·µ² ) = √(6·ʎ²·µ² ) = √6 · ʎµ
De genormeerde vector is ñ = n / |n|
dus ñ = (-ʎµ , -2ʎµ , -ʎµ) / √6 · ʎµ = (-1/√(6) , -2/√(6) , -1/√(6) )

Ik vraag me af of het tot zover klopt...

Is dan de vergelijk van het vlak V: (-1/√(6)x + (-2/√(6)y + (-1/√(6)z = 0 ??

Hoe moet ik dan de projectie van de punten B, D en E bepalen op het vlak? Heb ik dan de overgangsmatrix nodig? en zo ja, hoe bepaal ik die? Er moet toch gelden de projectie loodrecht op het vlak moet worden geprojecteerd?
Ik las dat voor de projectie geldt: (x·â)·â
Maar, wat moet ik dan voor de x nemen en wat voor de â? Waarbij x = vector x

Voor spiegelen geldt: x - 2·(x·ñ)·ñ
Daarvoor heb ik als x vector (1 0 0), (0 1 0) en (0 0 1) gebruikt en voor ñ de normaalvector. Maar de â is toch niet hetzelfde als de ñ ??

Ik heb er al 2 dagen mee gepuzzeld, maar ik kom er niet uit. Kan iemand me helpen aub?
Alvast heel erg bedankt!

Gerard
Student hbo - dinsdag 21 april 2015

Antwoord

Het uitwendig produkt van de vectoren (1,0,-1) en (2,-1,0) is de vector (1,2,1) en bij deze berekening moet je de parameters (lambda en mu) helemaal buiten beschouwing laten.
Je kunt de juistheid van het resultaat controleren door op te merken dat het inwendig produkt van de vector (1,2,1) met (1,0,-1) maar ook met (2,-1,0) keurig op nul uitkomt. Kortom, vector (1,2,1) is een normaalvector van je vlak waarmee de vergelijking wordt x + 2y + z = 0
De constante is nul want je vlak gaat door de oorsprong.

Ik neem aan dat het nu niet om één punt B gaat, maar om de projectie van de lijn door de oorsprong en met richtingsvector (3,4,1). Bovendien veronderstel ik dat er een loodrechte projectie wordt bedoeld.
De projectie van de oorsprong op het vlak is natuurlijk de oorsprong zelf, want de oorsprong ligt zelf al in het vlak. Je hoeft dus alleen nog maar de projectie van het punt (3,4,1) te bepalen.
De lijn door dit punt en loodrecht op het vlak heeft de vectorvoorstelling (x,y,z) = (3,4,1) + t(1,2,1) en deze lijn ga je nu snijden met het vlak.
Dat geeft (3 + t) + 2(4 + 2t) + (1 + t) = 0 en dus t = -2 en de projectie van punt (3,4,1) is dus het punt (1,0,-1)
De projectie van de hele lijn is dus de lijn door (0,0,0) en (1,0,-1) en dat is (x,y,z) = k(1,0,-1)

Voor de andere lijnen (waar D en E op liggen) herhaal je de actie. Ook deze lijnen gaan door de oorsprong dus je kunt met heel weinig rekenwerk toe.

MBL
dinsdag 21 april 2015

©2001-2024 WisFaq