Een functie met een parameter

Hallo, ik kwam in mijn boek de volgende vraag tegen:

Gegeven zijn de functies f_c(x)=x³+3cx.

1. Voor welke waarden van c heeft de grafiek van zo'n functie drie nulpunten?
2. Voor welke waarde van c heeft f_c een extremum van 4?
3. Voor welke waarden van c raakt de grafiek van f_c de lijn y=6x?
4. Voor welke waarden van c heeft de lijn met vergelijking y=x precies één punt met de grafiek van f_c gemeen?

Bij dit soort vragen raak ik dus altijd een beetje in paniek, want ik kom er echt niet uit. Ik heb a en b geprobeerd door het volgende:

1. Hier heb ik de functie gelijk gesteld aan 0, maar dan kom ik uit op x=0, x=√3c of x=√-3c. Het antwoord moet zijn: c$<$0.
2. Hier heb ik de afgeleide gelijk gesteld aan 0: 3x²+3c=0.

Met de uitwerking hiervan liep ik dus ook helemaal vast en ik heb ook niet het idee dat dit de goede manier is.

Opgave c en d heb ik nog niet geprobeerd omdat ik dus niet verder kwam.

• Hoe moet ik dit aanpakken en hoe kun je dit soort vragen makkelijk onder de knie krijgen?

Alvast bedankt voor het antwoord!

PS
Ik volg de LOI opleiding voor wiskunde B, ik heb dus geen 'verplichte' huiswerkopdrachten, ik wil het gewoon goed begrijpen :)

Julia
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 18 april 2015

Antwoord

a.
Bijna goed...

$
\begin{array}{l}
x^3 + 3cx = 0 \\
x(x^2 + 3c) = 0 \\
x = 0 \vee x^2 + 3c = 0 \\
x = 0 \vee x^2 = - 3c \\
x = 0 \vee x = - \sqrt { - 3c} \vee x = \sqrt { - 3c} \\
\end{array}
$

De wortel van -3c bestaat alleen als -3c$\ge$0, dus c$\le$0. In het geval dat c=0 heb je dan maar 2 oplossingen. Als c$<$0 dan heb je drie oplossingen.

Voorbeeld
Als c=-1 dan x=0 of x=-Ö3 of x=Ö3.

b.
Bepaal de afgeleide. Stel de afgeleide op nul en bepaal mogelijke kandidaten.

$
\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
f'_c (x) = 3x^2 + 3c \\
f'_c (x) = 0 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \\
3x^2 + 3c = 0 \\
3x^2 = - 3c \\
x^2 = - c \\
x = - \sqrt { - c} \vee x = \sqrt { - c} \\
f( - \sqrt { - c} ) = 2\sqrt { - c^3 } \,\,en\,\,f(\sqrt { - c} ) = - 2\sqrt { - c^3 } \\
We\,\,zien:2\sqrt { - c^3 } = 4 \\
c = - \sqrt[3]{4} \\
\end{array}
$

Kun je dan verder? Probeer c. en d. nog maar 's zelf.

zaterdag 18 april 2015

Re: Een functie met een parameter

©2001-2024 WisFaq