Groepentheorie

Beste,

Ik moest een lange oefening maken met veel bijvragen. Maar ik weet niet of ik juist begonnen ben?Dit is de lange vragenlijst
Zij G een niet abelse groep van orde 14. Bewijs de volgende uitspraken.
(1) G heeft geen element van orde 14.
(2) niet alle elementen in G zijn van orde 2.
(3) In G bestaat een element a van orde 7.
(4) De deelgroep hai is een normale deelgroep van G.
(5) Zij b 2 G, maar b 2/ hai. Dan is G voortgebracht door a en b.
(6) Bewijs dat b niet van orde 7 en toon dan aan dat het van orde 2 is.
(7) Bereken de orde van het element bab1.
(8) Bewijs dat ba = a6b
(9) Definieer
H =hc,d|c7 =d2 =1,dc=c6di. Toon aan dat er een bijectie ' bestaat van G naar H zodat
'(g1.g2) = '(g1).'(g2)
voor alle g1, g2 2 G (zo’n bijectie heet een isomorfisme).

Ik dacht dat de groep D14 was, maar zijn er nog andere mogelijkheden?
Als ik vraag 1 wil oplossen dan bekom ik juist dat er wel een element bestaat met orde 14.

Voor 2 heb ik dat het neutraal element orde 1 heeft.

Voor vraag 3 heb ik opgemerkt dat 7 een priemgetal is maar, ik weet niet of dat het dan wel juist kan zijn.

Voor 7 heb ik het gewoon uitgewerkt tot ik aan het neutraal element kwam en dan bekwam ik orde 7

De vragen die ik niet beantwoord heb hier, weet ik geen begin aan. Kan iemand me hiermee helpen alstublieft?

Alvast bedankt

Steffi
Student universiteit België - donderdag 2 april 2015

Antwoord

1. Als er een element van orde $14$ zou zijn dan is de groep cyclisch.
2. Klopt, maar ook: als in een groep elk element voldoet aan $x^2=e$ dan is de groep Abels.
3. Algemne stelling: als $p$ een priemdeler is van $|G|$ dan heeft $G$ een element van orde $p$.
4. Er zijn maar twee nevenklassen van de ondergroep $H$ voortgebracht door $a$
5. De beide nevenklassen zijn deel van de ondergroep voortgebracht door $a$ en $b$
6. Ga na dat $b^k\in H$ als $k$ even is en $b^k\notin H$ als $k$ oneven is.
De orde van $b$ is een deler van $14$.
7. Ga na $(bab^{-1})^k=ba^kb^{-1}$.
8. Merk op $ba^7b^{-1}=e$ en $a^{-1}=a^6$
9. Dit kan ik niet goed lezen
De groep is inderdaad (isomorf met) $D_{14}$.

kphart
zaterdag 4 april 2015

©2001-2024 WisFaq