Meetkunde bewijs met cirkel en gelijkzijdige driehoek

Zij ABC een gelijkzijdige driehoek met BC middellijn van een cirkel. Driehoek ABC snijdt de cirkel in P op AB en Q op AC. Bewijs dat P en Q respectievelijk de middelpunten van zijden AB en AC zijn.

Ik heb geen idee waar te beginnen. Met andere meetkundige bewijzen heb ik niet zoveel problemen, maar doordat het plaatje heel logisch lijkt, vind ik het moeilijk om een begin te maken aan het bewijs.

Ik heb al hulplijnen MQ en MP getekend, en ik kan bewijzen dat PBM en QMC gelijkbenig zijn. Verder denk ik dat ik iets moet doen met bewijzen dat APMQ een parallelogram is, maar ik weet niet waarom en hoe.

Kan je me helpen?

Ton
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 5 maart 2015

Antwoord

Hallo Ton,

Omdat BC een middellijn van de cirkel is en de punten P en Q op de cirkel liggen, zijn de driehoeken BCP en BCQ beide rechthoekig (zie Wikipedia: Stelling van Thales. BQ staat dus loodrecht op AC, CP staat loodrecht op AB.
In een gelijkzijdige driehoek vallen de hoogtelijnen, bissectrices en zwaartelijnen samen. BQ en CP zijn dus ook zwaartelijnen en delen AC resp. AB in twee gelijke delen.

OK zo?

donderdag 5 maart 2015

Re: Meetkunde bewijs met cirkel en gelijkzijdige driehoek

©2001-2024 WisFaq