Convergentie in kans en bijna zeker

Beste wisfaq,

Zij Xn een rij van stochastische variabelen die in kans naar X convergeren. Ik wil graag aantonen dat als deze Xn onafhankelijk zijn, dan convergeren ze bijna zeker naar X en deze X is constant.

Ik probeer eerst de rode draad van het bewijs te begrijpen alvorens ik de technishe details uitwerk.

1. Als Xn naar X convergeert in kans dan bestaat er een deelrij n_k zodat X_(n_k) naar X convergeert bijna zeker.

2.en de Kolomogorov 0-1 wet zegt dat dan deze limiet een constante is.

Ik begrijp de connectie niet tussen de deelrij en de staart variable of functie uit de K 0-1 theorie. De theorie wordt toegepast op deze deelrij en niet de hele rij?

Theorie Kolmogorov 0-1
Als Xn een rij van onafhankelijk identiek verdeelde stochastische variabelen is, dan is de kans van een staart verzameling van (X_n) gelijk aan 0 of 1. Bovendien is iedere is iedere staart functie constant bijna zeker.

De volgende theori volgt uit de K 0-1 theorie.

Theorie
Als X_n een rij van onafh stoch variabelen is, dan convergeert deze rij bijna zeker (of divergeert).

Ik denk dat ik de juiste theorie heb en de aanpak maar het is mij niet duidelijk hoe het nu precies in elkaar zit.

Groeten,

Viky

viky
Iets anders - donderdag 5 maart 2015

Antwoord

Viky,
Neem P(Xn=1)=1/n en P(Xn=0)=1-1/n en Xn onafhankelijk. Dan convergeert Xn in waarschijnlijkheid naar 0, maar Xn convergeert niet met kans 1 naar 0, hetgeen volgt met Borel-Cantelli.

kn
dinsdag 21 april 2015

©2001-2024 WisFaq