Integreren
Op school zijn we nu bezig met de primitieve van een functie. Zo moesten wij de functies f(x)=(2x-1)2 primitiveren.
Ik dacht dat je dat kon doen door de derde macht(die onstaat) kan compenseren met 1/3 en de 2x met 1/2. Hierdoor kreeg ik F(x)=1/6·(2x-1)3. Echter bleek dit volgens de meester niet te mogen.
In plaats daarvan moest ik de kwadraat uitwerken en dan pas primitiveren waardoor er uiteindelijk F(x)=4/3 x3 -2x2 + x uitkwam. Ik heb beide primitieven in mijn GR geplot en nu bleek dat de grafieken een heel klein beetje van elkaar verschillen(ongeveer 0,1).
Nu vroeg ik me af waar dit verschil vandaan komt en waarom mijn primitieve dus niet klopt. Ook vraag ik me dan af hoe je de som f(x)=(2x-1)6 zou moeten primitiveren als de manier waarop ik de primitieve heb berekend fout zou zijn, aangezien het uitwerken van een zesde machtsfunctie mij niet de bedoeling lijkt van de som.
Yassin
Cursist vavo - donderdag 27 november 2014
Antwoord
Hallo Yassine,
In dit geval is jouw primitieve ook goed, dat kan je zien door jouw primitieve te differentiëren. Je krijgt dan keurig de oorspronkelijke functie terug.
Om het verschil tussen jouw primitieve en de primitieve van jouw docent te begrijpen, is het belangrijk om te beseffen dat er niet één primitieve is, maar oneindig veel: je mag bij een primitieve altijd een willekeurige constante optellen. Wanneer je zo'n primitieve weer differentieëert, valt die constante weer weg, zodat je op dezelfde oorspronkelijke functie terugkomt, ongeacht welke constante je hebt gekozen.
Als primitieve van jouw docent moet je dus eigenlijk noteren:
F(x)=4/3x3 -2x2 +x +C
Wanneer je de haakjes van jouw primitieve wegwerkt (en er gelijk een willekeurige constante C bij optelt), dan krijg je:
F(x)= 4/3x3 -2x2 +x -1/6 +C
Het enige verschil is die 1/6, maar dat mag: je mag elke constante bij je primitieve optellen!
In dit geval mag jouw methode dus net zo goed als de methode van jouw docent. Waarom zou jouw docent dan toch zeggen dat jouw methode niet mag? Wel, jouw methode gaat alleen goed wanneer tussen haakjes een lineaire functie van x staat. Bij differentiëren levert dit (via de kettingregel) alleen maar een constante op, en deze kan je gemakkelijk compenseren (zoals je zelf al gedaan had).
Wanneer tussen haakjes een meer ingewikkelde functie van x staat (bijvoorbeeld een kwadratische functie), dan krijg je met terugdifferentiëren allerlei moeilijkheden via de kettingregel. Voor het primitiveren van van zo'n functie bestaan ook wel weer andere technieken, maar zolang je deze nog niet hebt gehad, moet je eerst de haakjes wegwerken, zoals jouw docent zegt. Het is dus belangrijk om deze methode te oefenen.
Samengevat:
- Jouw methode mag in dit geval omdat tussen haakjes een lineaire functie staat;
- Wanneer tussen haakjes een niet-lineaire functie staat, moet je de methode van jouw docent volgen.
De functie f(x)=(2x-1)6 kan je 'toevallig' ook op jouw manier primitiveren, maar bij de functie f(x)=(2x2-1)6 zit er (voorlopig) niets anders op dan die zesde machtsfuncie eerst helemaal uit te werken.
Is hiermee jouw vraag beantwoord?
donderdag 27 november 2014
©2001-2024 WisFaq
|