Opgave wiskunde MOA 1963 Analyse

f(x) is integraal van x tot oneind. e tot de macht -t gedeeld door t dt. Bewijs x maal f(x) is groter dan 0 en kleiner dan e tot de macht - x. Ik heb e tot de macht -1 naar de noemer gebracht en e tot de t-de in een reeks ontwikkeld. Daarna gesteld dat xf(x) zeker kleiner is dan integraal x tot oneindig van dt gedeeld door t( 1 +t ), immers de noemer wordt kleiner. Na breuksplitsing krijg ik uiteindelijk x maal ln ( 1+x) - ln x en tenslotte ln( 1+ 1 gedeeld dood x ) tot de macht x. Voor 0 tot 1 is dit kleiner dan e tot de macht - 1 maar voor x groter dan 1 niet. Is mijn redenering fout of hoe kom ik op het goede antwoord. Bij de opl. staat alleen stel t = xu .

W.Vene
Ouder - dinsdag 4 november 2014

Antwoord

De redenering is niet fout; de ongelijkheid $\frac1{te^t}$<$\frac1{t(1+t)}$ klopt maar, zoals U gezien hebt: deze ongelijkheid geeft ons niet genoeg, voor grote $x$ is $x\ln(1+\frac1x)$ ongeveer gelijk aan $1$.
Als je $t=xu$ substitueert komt er
$$
f(x)=\int_1^\infty\frac{e^{-xu}}u\,du
$$
en die integraal is kleiner dan of gelijk aan
$$
\int_1^\infty e^{-xu}\,du
$$
Overigens is de substitutie niet nodig, immers, als $t\ge x$ dan $\frac xt\le1$, en dus
$$
xf(x)=\int_x^\infty \frac xt e^{-t}\,dt \le \int_x^\infty e^{-t}\,dt
$$

kphart
dinsdag 4 november 2014

©2001-2024 WisFaq