Vraag over grafiek door twee punten

Vraag over grafiek door twee punten
Beste WisFaq,

Stel er zijn twee vaste punten bekend (x₁,y₁) en (x₂,y₂).
Er loopt een rechte grafiek door deze lijn met vergelijking y=p+qx.
Ook loopt er een dal parabool door deze twee punten: y=a+bx+cx².
Nou is het oppervlakte (primitieve) van de beide grafieken bekend volgens:
opp₁=px+q/2 x²
opp₂=ax+b/2 x²+c/3 x³
We weten daarnaast ook dat V = opp₂ / opp₁ in het punt (x₂,y₂).
We weten dus p, q sowieso maar nu de grote vraag:
Kunnen we ook a, b en c bepalen op basis van opp₁, opp₂ en V?

Extra:
De richtingscoëfficiënt:
q=rc=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
Het intercept is:
p=int=y₂-((y₂-y₁)/(x₂-x₁)) x₂
Vergelijking van de rechte lijn tussen punt 1 en 2 wordt:
y=y₂+((y₂-y₁)/(x₂-x₁ ))(x-x₂)
De verhouding v van beide oppervlakte is bekend:
v=(ax+b/2 x²+c/3 x³)/(px+q/2 x²)

Rob de
Student hbo - vrijdag 17 oktober 2014

Antwoord

Hallo Rob en Onno,

Je hebt het over de oppervlakte in het punt (x₂,y₂), maar om een oppervlakte onder een grafiek te definiëren zijn een linker en rechter grens nodig. Ik neem even aan dat je de oppervlaktes bedoelt tussen de y-as (x=0) en x=x₂.
Dan zullen we eens een poging wagen om dit vraagstuk op te lossen:

De punten (x₁,y₁) en (x₂,y₂) zijn bekend. Je kunt dus de vergelijking van de rechte opstellen, en ook de oppervlakte bepalen onder deze lijn.
De verhouding V is bekend, dus je weet ook wat de oppervlakte moet worden onder de parabool. Dus: opp₂ is bekend. Volgens mij waren jullie ook al zo ver.

We kunnen dan drie vergelijkingen opstellen:

1. Parabool moet door (x₁,y₁):
   a + bx₁ + cx₁² = y₁
   
2. Parabool moet door (x₂,y₂):
   a + bx₂ + cx₂² = y₂
   
3. Integraal van kwadratische functie van x=0 tot x=x₂ moet gelijk zijn aan opp₂:
   a(x₂) + b(^x₂2/₂) + c(^x₂3/₃) = opp₂

Wanneer je de waarden voor x₁, x₂, y₁, y₂ en opp₂ invult, krijg je drie vergelijkingen met alleen a, b en c als onbekenden. Dit stelsel zou oplosbaar moeten zijn.

maandag 20 oktober 2014

©2001-2024 WisFaq