De isoperimetrische ongelijkheid
Beste meneer/mevrouw,
In het boekje van O. Bottema gaat hij van O=1/2ad sin (A) + 1/2 bc sin(C)
en b2 + c2 - 2 bc cos (C) = a2 + d2 - 2 ad cos (A)
naar
16 O2 = 4a2d2 + 4b2c2 - (a2+d2 - b2 - c2)2 -8 abcd cos (A+C)
Kunt u mij hier verder mee helpen?
Vriendelijke Groet,
Anne Barneveld
Anne
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 oktober 2014
Antwoord
Schrijf $16O^2$ uit:
$$
16O^2=4(a^2d^2\sin^2A+b^2c^2\sin^2C+2abcd\sin A\sin C)
$$
dan gebruik je $\sin^2x+\cos^2x=1$ om $\sin^2A$ te vervangen door $1-\cos^2A$, en $\sin^2C$ door $1-\cos^2C$. Dan komt er
$$
16O^2=4(a^2d^2+b^2c^2-(a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C)+2abcd\sin A\sin C)
$$
De toepassing van de cosinusregel kun je omschrijven als
$$
2(ad\cos A-bc\cos C)=a^2+d^2-(b^2+c^2)
$$
Ten slotte, met behulp van
$$
(ad\cos A-bc\cos C)^2=a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C-2abcd\cos A\cos C
$$
volgt dat
$$
a^2d^2\cos^2A+b^2c^2\cos C = \frac14(a^2+d^2-b^2-c^2)^2+2abcd\cos A\cos C
$$
Als je dat netjes invult en de optelformule voor de cosinus gebruikt krijg je de derde formule.
kphart
woensdag 15 oktober 2014
©2001-2024 WisFaq
|