Driehoek van Morley

In het boekje van O.Bottema gaan ze van BD=2RsinAsin(¹/₃C)/sin(120+¹/₃A)
naar
4sin¹/₃xsin¹/₃(x+180)sin¹/₃(x+360)=sin x

Heeft u hier een verklaring voor?

Barbar
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 13 oktober 2014

Antwoord

Bottema gaat niet van de eerste naar de tweede uitdrukking, maar gebruikt de tweede om de eerste om te bouwen tot
$$
8R\sin\frac13A\sin\frac13(180^\circ+A)\sin\frac13C
$$
De $\sin A$ in de eerste uitdrukking is vervangen door $4\sin\frac13A\sin\frac13(A+180^\circ)\sin\frac13(A+360^\circ)$; dan kun je de noemer wegstrepen.
Je kunt de tweede relatie bewijzen door wat gonioformules te gebruiken (voor het gemak werk ik met $x$ in plaats van $\frac13x$):
$$
\sin 3x = \sin(x+2x) = \sin x\cos2x+\cos x\sin2x=\sin x(3\cos^2x-\sin^2x)
$$
en $\sin(x+60^\circ)\sin(x+120^\circ)$ kun je omwerken tot
$$
\left(\frac12\sin x+\frac12\sqrt3\cos x\right)\left(-\frac12\sin x+\frac12\sqrt3\cos x\right) = \frac34\cos^2x-\frac14\sin^2x
$$
Dan volgt snel dat
$$
4\sin x\sin(x+60^\circ)\sin(x+120^\circ)=\sin3x
$$

kphart
maandag 13 oktober 2014

Re: Driehoek van Morley

©2001-2024 WisFaq