Re: Definitie of bewijs?

Dit is een reactie op vraag 73829

Uw antwoord verwart mij een beetje (en dat heb ik vaker met wiskunde:-). In de 1e alinea geeft u een afleiding, waarvan ik het bewijs ken indien ik z vervang door x(=reeël). In de 2e alinea suggereert u toch dat het een definitie is.

Dus is het een definitie en hoef ik mijzelf niet meer te pijnigen door naar een bewijs te zoeken? Of...

Nogmaals dank!

vr. groet,
Gerard

Gerard
Ouder - dinsdag 9 september 2014

Antwoord

Het is een definitie en dus is het zoeken naar een bewijs zinloos. Uiteraard is het wel de bedoeling dat de definitie zó gekozen is dat reeds bekende feiten er ook onder vallen.
Via de identiteit van Euler wist je al dat voor reële getallen geldt dat
cos(q) = [e^iq + e^-iq] / 2 en ook dat
sin(q)=[e^iq - e^-iq] / 2i

Wat er vervolgens gebeurt, is dat men voor de sinus- en cosinusfuncties een definitie zoekt die voor complexe getallen geldt en mooi aansluit bij het al bekende reële geval.
Wat is er dan meer voor de hand liggend dan precies dezelfde formules te nemen en daarin de reële variabele q te vervangen door z die nu een complex getal voorstelt? Zoals gezegd, wil men nu natuurlijk wel dat door deze 'complexe' definitie alles wat we al weten van reële gevallen gehandhaafd blijft. Dat is een kwestie van allerlei zaken te toetsen aan de 'complexe' definitie.
Bijvoorbeeld:
1) Het is duidelijk dat in deze 'complexe' definitie het reële geval zit opgesloten.
2) De functies e^iz en e^-iz zijn analytisch in het gehele complexe vlak en dús zijn de functies cos(z) en sin(z) het dan ook.
3) Wanneer je de gegeven definitieformules voor sin en cos differentieert, zie je direct dat [sin(z)]' = cos(z) en dat [cos(z)]'= -sin(z)
4) De formule sin²(z) + cos²(z) = 1 volgt direct door de gegeven definitieformules te kwadrateren en op te tellen.
5) Ook de zogeheten somformules voor bijv. sin(w + z) rollen er na wat schrijfwerk direct uit.

Kortom, nauwkeurige verificatie laat zien dat alles wat bekend was van de reële situatie door de 'complexe' definities van sinus en cosinus gehandhaafd blijft. Daarmee zijn de 'complexe definities' dus zinvol te noemen en kunnen we ineens ook werken met de sinus resp. cosinus van complexe getallen.

MBL
woensdag 10 september 2014

©2001-2024 WisFaq