Staartdeling van polynomen komt niet uit

Ik heb de volgende breuk die ik moet vereenvoudigen:

^{1+x+(1/2)*x^2}/_{1+x+(7/12)*x^2}

Ik heb op twee manieren geprobeerd deze breuk op te lossen, de eerste is als volgt:

^{1+x+(6/12)*x^2}/_{1+x+(7/12)*x^2}
^{1+x+(7/12)*x^2-(1/12)*x^2}/_{1+x+(7/12)*x^2}
1-^{(1/12)*x^2}/_{1+x+(7/12)*x^2}

Maar schijnbaar is de uitkomst een som waarvan de eerste twee termen

1-(1/12)*x^2+....

moeten zijn (jawel, zonder de deling onder de term van x^2).

Bij polynoomstaartdeling kom ik al op hetzelfde uit (deze doet immers exact hetzelfde, maar dan voorgekauwd zodat studentjes geen fouten kunnen maken).

1+x+(7/12)*x^2 / 1+x+(1/2)*x^2 \ 1
1+x+(7/12)*x^2
______________ -
(6/12-7/12)*x^2
-(1/12)*x^2

In andere woorden, 1, rest -(1/12)*x^2, en dat komt precies uit op mijn antwoord hierboven. Doe ik iets fout ergens of klopt het antwoord gewoon niet (want dat overweeg ik inmiddels wel)?

Tobias
Student universiteit - vrijdag 29 augustus 2014

Antwoord

Het antwoord dat kennelijk gezocht wordt krijg je door (oneindig lang) te blijven staartdelen:
$$
-\frac1{12}x^2 = -\frac1{12}x^2(1+x+\frac7{12}x^2) + (\frac1{12}x^3 +\frac7{144}x^4)
$$
en
$$
\frac1{12}x^3 +\frac7{144}x^4 = \frac1{12}x^3(1+x+\frac7{12}x^2) +(-\frac5{144}x^4-\frac7{144}x^5)
$$
en
$$
-\frac5{144}x^4-\frac7{144}x^5 = -\frac5{144}x^4(1+x+\frac7{12}x^2)+ \cdots
$$
dat levert een oneindige som (een machtreeks) op:
$$
1-\frac1{12}x^2+\frac1{12}x^3-\frac5{144}x^4+\cdots
$$

kphart
vrijdag 29 augustus 2014

©2001-2024 WisFaq