Tangens hyperbolicus afleiden

Goede avond,
Op welke manier leid ik het best de tangens hyperbolicus af?
Met de e notatie en dan werken als volgt:
y=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)
y'= ((e^x+e^-x)²-e^x-e^-x)²)/e^x+e^-x)²
Uitgewerkt en vereenvoudigd levert dat :
y'=4/(e^x+e^-x)²
y'= 1/((e^x+e^-x)/2)²
y'=1/cos²hx= sec²hx
Of via :
y=tghx
y= sinhx/coshx
y'= (coshx.coshx-sinhx.sinhx)/cos²hx
y'= (cos²hx-sin²hx)/cos²hx
y'= 1/cos²hx want cos²hx-sin²hx=1 kan weer al bewezen worden met de e-notatie
cos²hx-sin²hx
= ((e^x+e^-x)²-((e^x-e^-x)²)/4
= (e^2x+2+e^-2x-e^2x+2-e^-2x)/4
=4/4=1
Welke is nu het interessantste om als bewijs te leveren van de afgeleide van de tangen hyperbolicus.
Groetjes

Rik Le
Iets anders - zondag 9 februari 2014

Antwoord

Hoi Rik,

Persoonlijk vind ik deze ( jouw tweede) optie het prettigst.

$
\begin{array}{l}
\tanh (x) = \frac{{\sinh (x)}}{{\cosh (x)}} \\
\tanh (x)' = \frac{{\cosh (x).\cosh (x) - \sinh (x).\sinh (x)}}{{\cosh ^2 (x)}} \\
\tanh (x) = 1 - \tanh ^2 (x) = \frac{1}{{\cosh ^2 (x)}} \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
zondag 9 februari 2014

Re: Tangens hyperbolicus afleiden

©2001-2024 WisFaq