Opgave uit wiskunde MO-A examen 1964

De opgave luidt : lim f(x)/x voor x naar oneindig , waarbij geldt dat voor x van - oneindig naar + oneindig geldt, dat de afgeleide van f(x ) is : | sin x |. Nu dacht ik voor x groter dan 0 en kleiner dan pi geldt f(x) is min cos x en voor x groter dan pi en kleiner dan 2 pi geldt f(x) is cos x.
Maar wat moet ik mij voorstellen voor x gaat naar oneindig als x in graden is uitgedrukt. Ik kom hier niet uit. Het antwoord is 2/pi . Hoe komt men hieraan ?

W.Vene
Ouder - woensdag 5 februari 2014

Antwoord

De sinus- en cosinusfuncties zijn voor alle waarden gedefinieerd door periodieke voortzetting, in graden: $\sin(\alpha+360^\circ)=\sin\alpha$, en in radialen: $\sin(x+2\pi)=\sin x$ (alsof je rond blijft draaien op de eenheidscirkel).
In de Analyse werken we voornamelijk met radialen.
De functie in de som is differentieerbaar verondersteld, en dus ook continu; je moet de functie in $\pi$ (en in $2\pi$, $3\pi$, $\dots$) wel aan laten sluiten. Als je $f(x)=-\cos x$ neemt op $[0,\pi]$, dan moet je op $[\pi,2\pi]$ wel $f(x)=2+\cos x$ nemen (teken een plaatje), op $[2\pi,3\pi]$ neem je $f(x)=4+\cos x$, enzovoort. De grafiek golft schuin om een lijn met richtingscoëfficiënt $\frac2\pi$ heen.

kphart
donderdag 6 februari 2014

©2001-2024 WisFaq