Re: Tegenvoorbeeld convergentie

Dit is een reactie op vraag 71758

is het dus zo dat bij puntsgewijze convergentie je een vaste x (element v R) neemt en deze dan invult in de functierij om dan te kijken of deze rij convergeert per x
en bij uniforme convergentie een vast n wordt bekeken waarbij we dan controleren of deze fn convergeert als we x laten variëren naar oneindig?

ep
Student universiteit België - zaterdag 4 januari 2014

Antwoord

Je eerste conclusie klopt: puntsgewijs betekent "voor elke individuele $x$ convergeert de rij $\langle f_n(x)\rangle_n$".
De tweede klopt niet, sterker nog: er staat eigenlijk onzin: "eerst $n$ vastnemen en dan kijken of $f_n$ convergeert" betekent in deze context niets. Uniforme (of gelijkmatige) convergentie betekent alle rijen $\langle f_n(x)\rangle_n$ min of meer even snel convergeren. Om dat precies te maken kun je eerst de puntsgewijze limiet bepalen, noem die functie $f$, en bepaal dan voor elke $n$ de afstand $d_n$ tussen $f_n$ en $f$, dat is het supremum van alle waarden $\bigl|f_n(x)-f(x)\bigr|$ met $x\in D$ (waar $D$ het domein van alle $f_n$ is). Uniforme convergentie betekent dan dat $\lim_{n\to\infty}=0$.
In het voorbeeld in het eerste antwoord hadden we $D=\mathbb{R}$ en $f_n(x)=x/n$; de puntsgewijze limiet is dan de nulfunctie (voor elke $x$ geldt $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$) maar door $x$ over heel $D$ te varieren zie je dat $d_n=\infty$ voor alle $n$, en dus is $\lim_{n\to\infty}d_n$ zeker niet nul.
Een ander standaard voorbeeld is met $D=[0,1)$ (links gesloten, rechts open) en $f_n(x)=x^n$; de puntsgewijze limiet bestaat (de nulfunctie) maar nu geldt $d_n=1$ voor alle $n$.

Zie Wikipedia: Uniform Convergence

kphart
zondag 5 januari 2014

©2001-2024 WisFaq