Convergerende reeks

Als aj gegeven wordt door 2/5·(3/5)^j-1, waarom is dan de som van j=1 tot oneindig van aj·j gelijk aan 5/2. Kan iemand dit uitleggen aan mij???

Pieter
Student universiteit - zondag 29 december 2013

Antwoord

Beste Pieter,

Een rij uitgebreid antwoord, stap voor stap.

$
\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{2}{5}(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k = } \frac{2}{5}\sum\limits_{k = 1}^\infty {(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k} \\
\sum\limits_{k = 1}^\infty {(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k = } (\frac{3}{5})^0 .1 + (\frac{3}{5})^1 .2 + (\frac{3}{5})^2 .3.........(\frac{3}{5})^{k - 1} k = S \\
S = (\frac{3}{5})^0 .1 + (\frac{3}{5})^1 .2 + (\frac{3}{5})^2 .3 + .(\frac{3}{5})^3 .4..........(\frac{3}{5})^{k - 1} .k \\
\frac{3}{5}S = \_\_\_\_\_(\frac{3}{5})^1 .1 + (\frac{3}{5})^2 .2 + (\frac{3}{5})^3 .3.........(\frac{3}{5})^{k - 1} .(k - 1) + (\frac{3}{5})^k .k \\
S - \frac{3}{5}S = \frac{2}{5}S = (\frac{3}{5})^0 + (\frac{3}{5})^1 + (\frac{3}{5})^2 + .......(\frac{3}{5})^{k - 1} + (\frac{3}{5})^k .k \\
\frac{2}{5}S = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{1 - (\frac{3}{5})^{k - 1} }}{{1 - \frac{3}{5}}} + \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } (\frac{3}{5})^k .k = \frac{5}{2} \\
\frac{2}{5}S = \frac{5}{2} \Rightarrow S = \frac{{25}}{4} \\
\frac{2}{5}\sum\limits_{k = 1}^\infty {(\frac{3}{5})^{(k - 1)} .k} = \frac{2}{5}S = \frac{{50}}{{20}} = \frac{5}{2} \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
zondag 29 december 2013

©2001-2024 WisFaq