De kans op een rijtje van 20 letters

Je hebt vier letters: A,G,C,T. Dit heten basen. Je hebt 1 miljard basen achter elkaar. Er is een rij van 20 basen. Hoe groot is de kans dat een combinatie van 20 basen achter elkaar nog een keer voorkomt in de rij van 1 miljard basen?

stijn
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 17 december 2013

Antwoord

Beste Stijn,

Deze vraag kan ik op verschillende manieren lezen: bedoel je hoe groot de kans is dat een vooraf bepaalde rij van 20 basen ergens voorkomt? En dan precies één keer of minstens één keer? Of bedoel je met 'nog een keer': precies 2 keer? Of bedoel je dat er ergens 2 keer eenzelfde rij van 20 basen te vinden is?
Ik zal je laten zien hoe je berekent hoe groot de kans is dat een bepaalde rij van 20 basen ergens in de reeks van een miljard basen te vinden is, dus minstens één keer. Met eenzelfde soort redenatie kan je dan ook andere varianten berekenen.

Minstens één keer betekent: één keer of twee keer of drie keer of .... We kunnen dan beter de kans berekenen dat de rij niet voorkomt, en deze kans aftrekken van 1.

Eerst berekenen we de kans dat je aan het begin van de streng van 1 miljard basen precies de gevraagde rij van 20 basen aantreft. De kans dat een base precies goed is, is 0,25. De kans dat de eerste 20 basen op rij precies goed zijn, is dus 0,25²⁰. De kans dat de eerste 20 basen niet de gevraagde rij zijn, is dus 1-0,25²⁰.
Dan doen we hetzelfde gerekend vanaf de 2^e base van de 1 miljard. Ook nu is de kans dat de rij van 20 basen niet klopt gelijk aan 1-0,25²⁰. De kans dat op beide posities geen goede reeks begint, is dus (1-0,25²⁰)². Zo ga je door tot je alle mogelijke startposities hebt gehad. Als er n startposities zijn, dan is de kans dat alle reeksen van 20 niet goed zijn:

P(geen goede reeks)=(1-0,25²⁰)ⁿ

Bepaal zelf hoeveel mogelijke startposities er zijn. Dit hangt af van de vraag hoe letterlijk je de reeks van 1 miljard moet nemen t.o.v. de gevraagde rij van 20 basen.

P(geen goede reeks) is de kans is dat deze gevraagde reeks niet voorkomt. De kans dat deze reeks dus wel voorkomt (minstens één keer dus) is 1-P(geen goede reeks).

Oh ja: in deze context is de volgorde van de basen essentieel, je mag basen niet van plaats verwisselen. In de statistiek spreken we dan van een permutatie van 20 basen, niet van een combinatie.

woensdag 18 december 2013

©2001-2024 WisFaq