Riemann som

Hoi,

Ik snap niet hoe ik met de riemann som moet werken, en dan vooral dat met de Sigmateken. Ik snap niet hoe ik een formule van de riemann som moet opstellen. Bijvoorbeeld bij de functie f(x)=-x²+4x. Je moet dan de oppervlakte berekenen met de Riemann som en dan moet je vier deelintervallen gebruiken. Wat is de sigmanotatie van de Riemann som nu?

Alvast bedankt voor het lezen!

Alex.

Alex
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 2 december 2013

Antwoord

Beste Alex,

De grafiek die jij beschrijft heeft als 0 punten x=0 en x=4. In deze laten we afspreken dat we de oppervlakte willen weten van onder die grafiek en boven de x-as. ( zie plaatje).

Een benadering kun je doen door de grenzen a-b te verdelen in 4 vlakken. In dit geval dus de lengte van 0-4. Wanneer je deze deelt in 4 stukken krijg je dus lengtes van 1. Hiervan maak je rechthoeken met als hoogt f(x). Je kiest hierbij of de linkerkant als hoogte ( ondersom) of de bovenkant als hoogte ( bovensom). De som van deze rechthoeken geeft dan een benadering. Je zult begrijpen dat hoe meer rechthoekjes je hebt hoe exacter de oppervlakte zal worden benaderd. De sommatie doe je met het sigma teken en betekent niet veel meer als tel de boel bij elkaar op. In het verlengde kun je het stuk van 0-4 ook in oneindig veel stukjes delen en dus oneindig veel rechthoekjes maken en optellen. Je krijgt dan wat we noemen een integraal. Onderaan het voorbeeld hoe dat eruit ziet.



$
\begin{array}{l}
\sum\limits_0^3 { - x^2 + 4x = 0 + 3 + 4 + 3 = 10} \\
\sum\limits_1^4 { - x^2 + 4x = 3 + 4 + 3 + 0 = 10} \\
\end{array}
$

Dit geeft een aardige benadering, maar is nog steeds een benadering. Het exacte antwoord ( maar dat zul je nog wel krijgen op school) doe je met een integraal.

$
\int_0^4 { - x^2 + 4x\,dx = _0^4 \left[ { - \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 } \right]}\ = 10\frac{2}{3}
$

mvg DvL

DvL
maandag 2 december 2013

Re: Riemann som

©2001-2024 WisFaq