Differentievergelijkingen en Z-transformaties
Beste wisfaq,
Ik wil graag de volgende differentievergelijking oplossen m.b.v. een Z-transformative
y(n+2)=y(n+1)+2y(n), y(0)=2 y(1)=1
Het Z-transformeren van de linker-en rechterkant geeft
z2Y(z)-(z2)y(0)-zy(1)=zY(z)-zy(0)+2Y(z)
(z2-z-2)Y(z)=2z2-z
Dus Y(z)=(2(z2)-z)/(z+1)(z-2)
De macht van z is in de noemer en teller gelijk. Ik dacht eerst, ik schrijf
Y(z)=2(z2)/(z+1)(z-2) + z/(z+1)(z-2),
Nu kan ik z/(z+1)(z-2) schrijven als A/(z+1)+B/(z-2), ik begijp hoe ik dit uit moet werken. Maar ik weet niet wat ik moet doen met
2(z2)/(z+1)(z-2)
Ik dacht eerst aan Az+B/(z+1)(z-2) + Cz+D/(z+1)(z-2) maar dat komt niet uit. Maar omdat de teller en de noemer dezelfde macht hebben moet je waarschijnlijk staartdelen maar dan krijg ik (de constant 2 laat ik even weg)
z2/z2-z-2\1
z2
-z-2
Dus
(z2)/(z+1)(z-2)=1-(z+2)/z2. Dit klopt niet maar ik begrijp niet waar ik een fout maak.
Vriendelijke groeten,
Viky
viky
Iets anders - zondag 1 december 2013
Antwoord
Je kunt de breuk
$$
\frac{2z^2-z}{z^2-z-2}
$$
omwerken tot
$$
2+\frac{z+4}{z^2-z-2}
$$
(met een stapje staartdeling: $2z^2-z$ delen door $z^2-z-2$).
Je had je breuk niet in twee stukken moeten delen en in je staartdeling had je $z^2$ door $z^2-z-2$ moeten delen.
kphart
zondag 1 december 2013
©2001-2024 WisFaq
|