Derdegraadsvergelijking oplossen

Op een internet pagina ( ik weet niet meer welke ) stond deze uitwerking van een derdegraadsvergelijking.
Een aantal dingen daarvan snap ik niet...hoe ze daarop komen enzo!
Ik geef eerst even wat er op die pagina stond:

"Ze wilden de formule 5x³ + 40 = -45x(x+1) oplossen
De normaalvorm is x³+9x²+9x+8 = 0
Daarna gingen ze deze formule reduceren, ze kregen toen de formule: y³-18y+35=0
Daarna gingen ze 2 hulpvariabelen gebruiken, ze vervingen y door (u+v). Daardoor kregen ze de formule (u+v)³-18(u+v)+35=0
Daarna gingen ze deze vergelijking verder uitwerken:
u³+3u²v+3uv²+v³-18(u+v)+35=0
u³+v³+(3uv)(u+v)-18(u+v)+35=o
u³+v³+(3uv-18)(u+v)+35=0
Daarna zeiden ze: omdat we 2 hulpvariabelen hebben gekozen, mogen we zelf één extra eis stellen. Het is nu handig om 3uv-18=0 te kiezen, waaruit volgt dat uv=6.
Daarna vereenvoudigden ze u³+v³+(3uv-18)(u+v)+35=0 drastisch tot u³+v³=-35
Daarna gingen ze verder met (u³+v³)²=1225
4(uv)³=864
(u³-v³)²=361
Ze hadden toen: ú3-v³=19 OF u³-v³=-19
Daarna zeiden ze dat uit het vorige volgde dat :
u³ = -8 of u = -2 en
v³=-27 of v=-3
En daaruit maakten ze weer op dat y = -5
En toen zeiden ze dat dat maar 1 oplossing was maar dat er meerdere waren."

Wat ik nu niet snap:
-Waarom gaan ze met 2 hulpvariabelen werken en wat is hun doel?
-Nadat ze y hadden vervangen door (u+v) gingen ze de vergelijking uitwerken. Hoe hebben ze dat gedaan? want bij de derde regel laten ze opeens 1x (u+v) weg.
-Waarom stellen ze éen extra eis? En waarom kiezen ze daarbij 3uv-18?
-HOe hebben ze dat drastisch vereenvoudigen gedaan toen ze uitkwamen op u³+v³=-35?
-Waarom deden ze die formule daarna in het kwadraat?
-HOe komen ze op 361 uit?
-HOe komen ze hierop:u³ = -8 of u = -2 en
v³=-27 of v=-3 ?
-En hoe komen ze uiteindelijk op y=-5?

Ik hoop dat u mij kunt helpen!
Alvast bedankt!
Deborah

Debora
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 2 februari 2003

Antwoord

1) De oplostechniek van vergelijkingen van graad 3 en hoger berust in het algemeen op allerlei, vaak zeer vernuftige, kunstgrepen. De invoering van de variabelen u en v is er zo een. Je komt er niet zelf op. maar door naarstig zoeken bleek men met deze ingreep in een oplosbaar geval te komen.

2) Men laat niets weg, maar ontbindt het. Let op het stukje 3uv(u+v) - 18(u+v) en noem eventueel u+v tijdelijk t. Dan staat er 3uv.t - 18t en dat is (3uv-18).t Als je t nu weer vervangt door u+v, dan heb je wat je niet zag.

3) y stelt één getal voor. Door y = u + v te stellen heb je nog vrijheid in de keuze van één van de variabelen u of v.

4) Als je 3uv-18 = 0 stelt, dan ben je een heel stuk van de vergelijking zomaar eventjes kwijt! En hoe beknopter de vergelijking, des te maar kans op een oplossing.

5) Zie het vorige punt, (3uv-18)(u+v) valt weg, omdat je 3uv-18 gelijk aan 0 hebt gesteld.

6) Het waarom van deze stap zit weer verscholen in het feit dat het gewoon blijkt te werken. Net zoiets als onder punt 1, eigenlijk.

7) (u³-v³)² = (u³+v³)² - 4(uv)³ = 1225 - 864

8) Combineer u³ - v³ = 19 met u³ + v³ = -35 (staat een aantal regels hoger in de uitwerking).

9) y = u + v en je hebt een u en v gevonden, dus ook de y.

MBL
zondag 2 februari 2003

©2001-2024 WisFaq