Uniforme convergentie

Hallo! Voor het vak complexe functietheorie heb ik de volgende vraag gekregen:

Laat f:A-$>$D continu zijn en definieer f_r(z):=f(rz) voor z in A en 0$<$r$<$1. Laat zien dat f_r uniform continu is als r gaat naar 1. Er staat ook een hint bij: f is uniform op A, waarom?

Met heel veel dank!

Wessel
Student universiteit - zaterdag 16 november 2013

Antwoord

Dag Wessel,
je moet de vraag wel goed overschrijven.
Het is wel nodig te vertellen dat $A$ de gesloten eenheidsschijf is; die is namelijk compact en daarom is $f$ uniform continu. Verder is die $D$ gewoon $\mathbb{C}$.
Neem nu $\epsilon$ groter dan $0$ en ga op zoek naar $r_0$ zó dat $|f_r(z)-f(z)|$ voor alle $z\in A$. Die vindt je via de bij $\epsilon$ bestaande $\delta$. Je hoeft nu alleen nog $r_0$ zó te bepalen dat voor $r\ge r_0$ het verschil $|rz-z|$ kleiner is dan $\delta$ voor alle $z\in A$.
Hint: $|rz-z|=(1-r)|z|\le1-r$.

kphart
zaterdag 16 november 2013

©2001-2024 WisFaq