Waarheidswaarde en propositie

Onderzoek de waarheidswaarde van de volgende propositie, als het domein van x, y, z gehele getallen zijn:
Propositie: (Ax Ex Ez:: 13y-8z=2x)
Oplossing: Neem y=2x en z=3x dan 26x-24x=2x dus True

Mijn probleem: Hoe kom je nu op "y=2x" en "z=3x" en waarom niet y=5x en z=4x om maar iets te noemen?

Ook: Waar moet ik me in verdiepen om dit te snappen?

Erwin
Iets anders - vrijdag 31 januari 2003

Antwoord

Hoi,

Dit ligt in het gebied van getaltheorie. Je kan hier veel literatuur over vinden.

Er bestaat een stelling die zegt dat als 2 gehele getallen a en b onderling ondeelbaar zijn, dus dat ggd(a,b)=1, dan er dan gehele y en z bestaan zodat ay+bz=1.

Voor je geval heb je a=13 en b=-8 met ggd(13,8)=1.
Er zijn een aantal methoden om y en z te berekenen in 13y-8z=1. Eén ervan sluit dicht aan bij het algoritme van Euclides dat je kent om de ggd te berekenen). In dit geval kan je het gewoon zien: 13.5-8.8=65-64=1. zodat 13.(5.2x)-8.(8.2x)=2x. Je kan dus nemen y=10x en z=16x.
Deze methode kan je veralgemenen en abstractie maken van 13, -8 en 2x.

In jouw specifieke geval kan je zien dat 2 een deler is van 2x en van 8z. 2 is geen deler van 13, dus moet y een 2-voud zijn. We schrijven y=2k en lossen op: 13k-4z=x. We vinden een oplossing voor 13k-4z=1: k=1 en z=3. Oplossingen voor 13k-4z=x zijn dus: k=x en z=3x. Oplossingen voor 13y-8z=2x zijn dus y=2x en z=3x.
De oplossingen naar y en z zijn dus niet uniek in functie van x...
Groetjes,
Johan

andros
vrijdag 31 januari 2003

©2001-2024 WisFaq