Verloop van functies

Beste,

Gegeven is de functie f(x)=x²/√(x²-3x +2)
Hiervan heb ik het domein bepaald, en aan de grafiek zie ik dat er 2 SA zijn en 2VA. Deze twee verticale asymptoten heb ik reeds berekend maar met de schuine asymptoten zit ik wat vast...
Voor x$\rightarrow$ +oneindig kom ik uit dat a=1 dit moet kloppen. Als in hieruit b wil berekenen kom ik echter nooit de juiste waarde uit...

En voor x$\rightarrow$ -oneindig kom ik ook a=1 uit, maar deze zou -1 moeten zijn...

Alvast bedankt!
Mvg

Nicola
3de graad ASO - woensdag 9 oktober 2013

Antwoord

Beste Nicolas,

Hou je in het geval van $-\infty$ wel rekening met het feit dat $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ als x negatief is?

Voor $+\infty$ is de rico (a=1) alvast goed. Voor b:

$$b=\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{\sqrt{x^2-3x+2}}-x \right)
= \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2-x\sqrt{x^2-3x+2}}{\sqrt{x^2-3x+2}} \right)$$
Vermenigvuldig teller en noemer met de toegevoegde uitdrukking van de teller:

$$\frac{(x^2-x\sqrt{x^2-3x+2})(x^2+x\sqrt{x^2-3x+2})}{\sqrt{x^2-3x+2}(x^2+x\sqrt{x^2-3x+2})}$$
Je kan nu de teller vereenvoudigen door gebruik te maken van (a-b)(a+b) = a²-b²:

$$x^4-x^2(x^2-3x+2) = 3x^3-2x^2$$
Breng in de noemer de hoogste machten van x buiten de vierkantswortels:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3-2x^2}{\sqrt{x^2-3x+2}(x^2+x\sqrt{x^2-3x+2})}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3-2x^2}{x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}(x^2+x^2\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}})}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3\left(3-\frac{2}{x}\right)}{x^3\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}(1+\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}})}$$
Je kan nu teller en noemer delen door x³, de limiet (3/2) volgt dan.

Lukt het om het op gelijkaardige manier voor $-\infty$ uit te schrijven? Let daarbij op mijn eerdere opmerking i.v.m. het teken.

mvg,
Tom

donderdag 10 oktober 2013

©2001-2024 WisFaq