Recursieve formule bij annu๏teit

Aan het eigenlijke probleem en dus mijn vraag gaat het volgende verhaal met opgaven vooraf:

Jeffrey heeft op 1 jan. 2005 een bedrag van 10000 euro op de bank gezet tegen 5% rente per jaar. Vanaf 1 jan. 2006 stort hij jaarlijks 1000 euro op zijn rekening. Hij gaat hiermee door totdat er 50000 euro op zijn rekening staat.

a) Stel de recursieve formule op van het saldo van Jeffrey's rekening. Anw.: u(n) = 1,05 ื u(n−1) + 1000 met u(0) = 10000. (Snap ik)
b) Hoeveel is het saldo op 1 jan. 2015? Anw.: het saldo 28866,84 euro (Snap ik)
c) In welk jaar is het saldo op 1 jan. voor het eerst > 50000 euro? Anw.: Op 1 januari 2005 + 18 = 2023 is het saldo voor het eerst meer dan 50 000.

Toelichting 2de deel opgave: Op het eind van het jaar 2022 heeft Jeffrey 52199 euro op zijn rekening staan. Vanaf 1 jan. 2023 neemt Jeffrey jaarlijks 5000 euro op.

d) Stel voor deze situatie de recursieve formule op van het saldo. Hierbij is u(0) het saldo op 1 jan. 2023. Anw.: Recursieve formule: u(n) = 1,05 ื u(n−1) − 5 000 met op 1-1-2023 u(0) = 52199 − 1000 − 5 000 = 51199 − 5 000 = 46199
(Snap ik helaas niet veel van)

Het eerste deel van de recursieve formule snap ik, dus u(n) = 1,05 ื u(n−1) − 5 000. Echter waar die -1000 vandaan wordt gehaald kan ik echt niet begrijpen. Eind 2022 staat er 52199 euro op zijn rekening, vanaf 1 jan. 2023 neem hij 5000 op. Ik kan dus nog snappen dat u(0)= 52199 - 5000.

Ook is eerder aangegeven dat hij jaarlijks 1000 zou storten totdat hij de 50000 zou bereiken. Op 1 jan. 2022 na storting van 1000 staat er ongeveer 48761 euro op zijn rekening. Hoe kan er volgens de 'toelichting' aan het eind van 2022 al het bedrag staan (van 52199 euro) wat eigenlijk voor u(18)(dus 1 jan. 2023) geldt volgens de recursieve formule van opgv. 'a', terwijl de rente en storting per 1 jan. v/h daarop volgende jaar bijgeschreven worden. Er zou dus al 1000 euro gestort zijn v๓๓r 1 jan. 2023 (dus een tweede keer in 2022, 1 keer op 1 jan. en 1 keer aan het einde van het jaar), dit zou de opgave dan wel heel verwarrend maken als je hier van uit moet gaan of op moet rekenen. Verder blijkt er wel dat de rente van 5% over het jaar 2022 al genoeg is om het bedrag van 48761 over de 50000 te tillen zonder extra storting van 1000 (eigenlijk gepland voor 1 jan. 2023). Dus op die manier bekeken zou hij die extra gestorte 1000 euro wel weer opnemen gezien hij met de rente al over de 50000 was gekomen.

Is dit de manier op die extra 1000 te verklaren?? Ik zou het maar raar vinden, maar kan echt geen andere verklaring vinden. Graag verheldering. Alvast bedankt.

David
Cursist vavo - maandag 15 juli 2013

Antwoord

Hallo David,

Terecht merk je op dat het saldo op 1 januari 2022 (na de storting van €1000) €48761 bedraagt. In het jaar 2022 gebeurt het volgende:

• Startkapitaal: €48761
  
• Eindkapitaal na bijschrijving rente: 1,05 ื €48761 €51199
  
• Na storting van €1000 zou op 1 januari 2023 het saldo zijn: €51199 + €1000 = €52199

Dit is het bedrag dat door je rucursie-formule wordt berekend. Maar: Jeffrey bereikt met de rente alleen al het bedrag van €50000, dus deze laatste storting voert hij niet uit. Je recursieformule berekent dus een bedrag dat €1000 te hoog is! Voor het juiste startbedrag op 1 januari 2023 moet je dus eerst corrigeren voor storting van €1000 die jouw recursie-formule wel berekent maar die in werkelijkheid niet plaatsvindt.

maandag 15 juli 2013

©2001-2024 WisFaq