Voorwaardelijke kansen en verjaardagen

Wat is het verschil tussen de vraag:

"Hoeveel mensen moeten zich in een ruimte bevinden omn de kans dat 2 van hen op dezelfde dag jarig zijn groter is dan 50%"

en

"Hoeveel mensen moeten er samen met jou in een ruimte bevinden om ervoor te zorgen dat de kans dat tenminste 1 van hen op dezelfde dag jarig is als jij groter is dan 50%. En hoe bereken je dat??"

En wat is het effect als er 366 dagen gerekend worden i.p.v 365??

Alena
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 29 januari 2003

Antwoord

Dag Alena,

Voor de eerste vraag is de kans groter, immers elk koppel mensen komt in aanmerking. De kans dat voor n mensen iedereen op een andere dag verjaart, is 365·364·363·... / 365ⁿ met n factoren in de teller. Verklaring: het aantal mogelijke verjaardagen voor 1 persoon is 365, voor n personen is dat de n-de macht. Voor verschillende verjaardagen heeft de eerste persoon 365 keuzes, de tweede 364, enzovoort, vandaar de teller. 1 - dit getal is dus de kans dat er twee mensen op dezelfde dag verjaren. Je kan dus uitrekenen wanneer dat groter dan 50% wordt, namelijk voor 23 personen.

De tweede vraag: iedereen heeft één kans op 365 om op dezelfde dag als jij te verjaren, dus 364 op 365 om dat niet te doen. Opdat er n mensen op een andere dag dan jij zouden verjaren is de kans dus (364/365)ⁿ. Dit is 0.5 als er 253 andere mensen aanwezig zijn (dit kan je uitrekenen door de log te nemen).

Die toevoeging van 366 dagen maakt het een stuk moeilijker: die dag komt immers vier keer minder voor dan de andere. Dus moet je daarmee in alle formules rekening houden, en wel als volgt: in de eerste vraag beschouw je eerst de kans dat er twee mensen op dezelfde dag van de 365 verjaren, en je telt daarbij de kans dat twee mensen allebei op 29 februari verjaren. Voor de tweede vraag: ofwel ben je zelf op een van de 365 dagen jarig, en dan vervang je de 364/365 door 364.25/365.25. Ofwel ben je op 29 februari jarig, en dan vervang je die kans door 1460/1461. Ik hoop dat je geen rekening wil houden met de eeuwjaren die geen schrikkeljaar zijn...

Groeten, Christophe.

Christophe
woensdag 29 januari 2003

©2001-2024 WisFaq