Torentje bouwen

hallo ik heb de volgende vraag.
stel ik heb 3 kleuren blokjes ( rood, groen, blauw). Oneindig veel van elke kleur.

ik bouw een torentje van zes hoog.
1) op hoeveel manieren kan ik nu een torentje bouwen?
mijn antwoord 3⁶ de volgorde doet er namelijk WEL toe.
2) op hoeveel manieren kan ik nu een torentje bouwen zodat elke kleur minstens 1 maal voorkomt.

ik dacht dat zijn alle mogelijkheden minus de mogelijkheden die niet aan de voorwaarde voordoen.

dus 3⁶ - wat niet voldoet.

voldoet niet als: er maar 1 kleur gebruikt wordt of als er maar 2 kleuren gebruikt worden.

ik dacht dit samen te kunnen pakken als volgt.
op hoeveel manieren kan ik 2 kleuren selecteren uit 3. nCr(3,1)=3 als ik 2 kleuren selecteer kan ik op 2⁶ mogelijkheden het torentje bouwen. Let op, de mogelijkheid dat ik slechts 1 kleur van die 2 gebruik zit hier al in.

dus 3⁶- 3.2⁶ = 537

uhm ik zie mijn denkfout al. als ik bijv blauw en geel kies reken ik ( alles is geel) 1 keer. maar als ik groen en geel kies, reken ik alles is geel nogmaals. Kortom alles is 1 kleur heb ik dubbel geteld.

het moet dus 3⁶ - 3.2⁶ +3 = 240 zijn.

Dit klopt toch? kan het nog anders, handiger ook?

dennis
Student hbo - donderdag 10 januari 2013

Antwoord

Het aantal is 540 en dat is precies wat je gevonden hebt. Je maakt alleen een klein schrijffoutje daarbij.
Of het handiger kan? Vast wel, maar je doet het m.i. handig genoeg.
Hier nog even het overzicht.
In totaal zijn er 3⁶ = 729 mogelijkheden.
Daar moeten vanaf de torentjes met maar één kleur en de torentjes met precies 2 kleuren.
Torentjes met maar één kleur komen 3 keer voor.
Torentjes met twee kleuren (bijv. rood en blauw) geven iets meer telwerk. Je kunt hebben:
rbbbbb (6 permutaties)
rrbbbb (6 nCr 2 = 15 keer)
rrrbbb (6 nCr 3 = 20 keer)
rrrrbb (15 keer)
rrrrrb (6 keer)
Dit geeft 62 mogelijkheden.
Voor twee andere kleurcombinaties uiteraard ook 62 stuks.
In totaal gaan er dus 3·62 + 3 = 189 vanaf.
729 - 189 = 540.

MBL
maandag 14 januari 2013

©2001-2024 WisFaq