170001 rijtjes

Stel er worden 170001 rijtjes van 5 getallen uit de getallen 1,...,45 gekozen. Wat is de kans (poisson benadering) dan dat een rijtje/rijtjes voorkomt/voorkomen dat vier of meer keer gekozen is/zijn. En hoe groot is de kans dat een rijtje/rijtjes voorkomt/voorkomen dat 5 of meer gekozen is/zijn. (een soort variant op het verjaardagsprobleem)

Het antwoord voor een (1) bepaald rijtje is (maar dit zoek ik niet):
Er zijn 45!/(40!.5!)=1,221,759 verschillende rijtjes mogelijk. Elk rijtje komt gemiddeld m=170,001/1,221,759=0.14 keer voor. De kans dat een rijtje precies k keer voorkomt is gegeven door de Poisson-verdeling p(k)=mk.e-m/k!.

De kans dat een rijtje 4 keer of meer voorkomt noemen we p+4, meer dan 5 keer: p+5.
We hebben: p+4=1-p(0)-p(1)-p(2)-p(3) en p+5=1-p(0)-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)=p+4-p(4). Nu raak je er wel...

ik wil dus niet alleen weten van een bepaald rijtje maar van alle mogelijkheden!! VB. het rijtje 1-2-3-4-5 kan vier keer voorkomen, maar het rijtje 6-7-8-9-10 ook! Het antwoord van hierboven houdt geen rekening mee dat er meerdere rijtjes vier keer voor kan komen tussen die 170001 rijtjes! Dit maakt het een stukje ingewikkelder...

tuc
Student universiteit - vrijdag 24 januari 2003

Antwoord

Zonder garantie !!!

Gebruik de complementregel: de kans dat er rijtjes voorkomen die minstens 4 keer gekozen zijn = 1-de kans dat alle mogelijke rijtjes hoogstens drie keer gekozen werden.

Voor een mogelijk rijtje kun je die kans uitrekenen namelijk P(0)+P(1)+P(2)+P(3) (je zal dat overigens in veel meer decimalen moeten berekenen) er komt dan uit 0,999986021

Voor alle rijtjes: tot de macht 1221759 levert op
0,000000038 (hier zit een klein puntje van twijfel maar in de benadering lijkt mij dat toch te mogen)

De gevraagde kans is nu het complement dus 0,999999962 (het klopt wel dat die vrij dicht bij 1 moet liggen)


Met vriendelijke groet

JaDeX

vrijdag 31 januari 2003

©2001-2024 WisFaq