Limieten berekenen

Ik heb een vraag over hoe je limieten moet berekenen.

Het gaat om de volgende sommen:

Lim (1-x^-2/4+e^-x2
x-$>$ $\infty$

Lim (1-x^-2/4+e^-x2
x-$>$ -$\infty$

Hopelijk zou u mij kunnen vertellen wat het plan van aanpak is en welke denkwijze hierachter zit.

Alvast bedankt!

Studen
Student universiteit - maandag 12 november 2012

Antwoord

Ik neem aan dat er vóór en na de deelstreep een haakje had moeten staan.
Een plan van aanpak is er m.i. niet direct voorhanden. Elke limiet kan je weer tot nieuwe probeerseltjes dwingen al zul je met wat ervaring soms wel een patroon ontdekken. Maar het blijft altijd weer een uitdaging.

Als x 'naar oneindig gaat', dan denk je natuurlijk aan een bijzonder groot getal, zonder een concrete keuze te maken.
Tast nu sowieso wat zaken af. Wat doet bijvoorbeeld de noemer van een breuk (wordt hij bijv. nul?), wat doet elke term waarin een x zit, zijn er termen die véél sneller stijgen of dalen dan andere termen (e-machten 'winnen' het vaak van gewone machten)?
In dit specifieke geval: x^-2 staat voor 1/x². Wordt x dus enorm groot, dan wordt x² nog véél groter, zodat de breuk 1/x² vrij vlot heel dicht bij nul komt, ofwel geen gewicht meer in de schaal legt.
In de noemer staat e^-x2. Wanneer x alsmaar toeneemt, dan wordt
-x² een sterk negatief getal, zodat er van 1/e^x2 al heel snel vrijwel niets overblijft.
Van de hele breuk overleven dus eigenlijk alleen de 1 en de 4 in teller en noemer.

Voor x naar min-oneindig is het verhaal het zelfde. Dankzij de aanwezigheid van x² in de afzonderlijke termen, is het onbelangrijk of je een positieve dan wel een negatieve waarde invult.

MBL
maandag 12 november 2012

©2001-2024 WisFaq