Hoe verbreed ik een parabool opdat de oppervlakte verdubbelt?

Ik heb de volgende gegevens:
Een poort is parabolisch van vorm en kan beschreven worden door de vergelijking f(x)=3(4-x²). (de poort is de oppervlakte tussen de parabool en de x-as)

Een eerste gevraagde was om de oppervlakte van de poort te berekenen.
Met andere woorden: de integraal van -2 tot 2 van f(x).
Dit vormde geen probleem en gaf als resultaat 32.

Een tweede gevraagde was: 'Hoeveel breder moet men deze poort maken (zelfde hoogte en nog steeds parabolisch) opdat de oppervlakte zou verdubbelen.

Hierbij deed ik het volgende:
Ik schreef de functie algemener als g(x)=a(b-x²).
Een gegeven is dat de hoogte dezelfde moet zijn als die van f(x). We weten dat deze parabool een even functie is, dus de top moet op x=0 liggen. f(0)=12
Dit moet ook waar zijn voor g.
12=a(b-0) = b/12=a
= g(x)=b/12(b-x²)
De twee nulpunten van de g zijn b en -b.
dus de integraal met ondergrens -b, bovengrens b van g(x)dx moet 64 zijn aangezien de oppervlakte hierboven (32) verdubbeld moest worden.
Hieruit dacht ik dan de juiste waarde van b af te kunnen leiden en zo de juiste breedte te vinden. Deze breedte zou uiteindelijk 8 moeten zijn (tweemaal zo breed als in de originele functie f(x)).
Dit kom ik echter niet uit, en ik heb al verschillende technieken geprobeerd, en deze leek me het meest logisch, en toch blijkt er iets niet juist te zijn aan mijn berekeningen aangezien mijn resultaten allerminst lijken op wat ik zou willen uitkomen.

Mijn vraag is nu of mijn redenering fout is, indien ja, waarin zit dan juist de fout en hoe zou ik het beter doen?

Mathij
3de graad ASO - zaterdag 10 november 2012

Antwoord

Twee foutjes:
Uit g(0)=12 volgt ab=12, dus a=12/b i.p.v. a=b/12.
De nulpunten van g(x)=12/b·(b-x²) zijn x=√b en x=-√b en niet b en -b.

Oplossen levert b=16.
√(16)-(-√16)=4--4=8.

Dus de ideeen zijn goed.

zaterdag 10 november 2012

©2001-2024 WisFaq